Фундаментальная последовательность

[max(Im)]

Верно ли, что если $|x_{n+1}-x_n|$ сходится к 0, то последовательность $\{x_n\}_{n=1}^\infty$ фундаментальна?
Или при каких-то определенных условиях на сходимость $|x_{n+1}-x_n|$? Подскажите, как тут что доказывать?

[Otta]

Неверно. Первое, что приходит в голову - последовательность частичных сумм гармонического ряда, например.

[max(Im)]

А если сказать, что $|x_{n+1}-x_n| \leqslant \frac{1}{2^n},$ это будет верно?

[Otta]

А можно поинтересоваться, почему Вы не проверите сами?
Определение в зубы и вперед. Благо, это совсем несложно.

[max(Im)]

Да вот туплю потому что, ступор какой-то, а вижу, что просто.
Беру по определению $|x_{n+p} - x_n| \leqslant \sum\limits_{i=1}^p |x_{n+i}-x_{n+i-1}| \leqslant \sum\limits_{i=1}^p \frac{1}{2^{n+i}},$ .

Хм. Странно. А на бумажке не выходило. Видимо, потому что в оригинале $|x_{n+1}-x_n| \leqslant q^{2^n},$ где $q < 1.$ Хотя и там ряд вполне себе сходящийся.

Ладно, спасибо) Извиняюсь за глупую тему.

(Оффтоп)

Хотя такие темы на форуме я люблю только за то, какие выражения применяют форумчане для упреков в лени и бездействии (стараюсь все же все решать на бумажке предварительно). Определение в зубы!

[Otta]

:)

max(Im) в сообщении #753617 писал(а):

Хм. Странно. А на бумажке не выходило.

О пользе аккуратной записи. (Правда, если еще аккуратнее, то показатель степени другой, но это непринципиально.)