Вопрос о группе Галуа

[Konstantce]

Вопрос, наверное, тривиальный и интуитивно очевидный... Но, никак не могу дать строгого обоснования.
Итак, пусть $P$ - произвольное поле характеристики нуль, и $F$ - любое его конечное расширение степени $n$.
Как тогда доказать, что группа автоморфизмов $Gal(F/P)$ имеет порядок $n$?

[apriv]

Никак не доказать: это определение расширения Галуа, и не любое расширение является таковым.

[Konstantce]

Т.е над полем характеристики нуль тоже существуют расширения, не являющиеся в то же время расширениями Галуа?

[apriv]

Да, полно таких примеров. И что значит «тоже»? Все расширения конечных полей являются расширениями Галуа, поэтому в положительной характеристике пример придумать не так просто.

[donny]

Konstantce в сообщении #750900 писал(а):

Вопрос, наверное, тривиальный и интуитивно очевидный... Но, никак не могу дать строгого обоснования.
Итак, пусть $P$ - произвольное поле характеристики нуль, и $F$ - любое его конечное расширение степени $n$.
Как тогда доказать, что группа автоморфизмов $Gal(F/P)$ имеет порядок $n$?

Наверное, вы потребовали условий, но забыли сказать их нам, о том, что расширение $F/P$ нормальнье и сепарабельное, или, скажем, $F$ поле разложения некоторого сепарабельного полинома с коэффициентами в поле $P$, то тогда этот факт действительно требует некоторого доказательства, вроде как называется он теоремой Артина.