Максимизировать доход[ТВ]

[vlad_light]

Изначально мы владеем стартовым капиталом в размере $S_0$. На каждом шаге у нас есть $m$ стратегий, из которых мы можем выбрать только одну. Таким образом, капитал на каждом следующем шаге описывается формулой:

$$S_{n+1}=S_n-K^{(j)}+X^{(j)}, j=\overline {1,m}$$

Тут $K^{(j)}>0$, а $X^{(j)}$ - неотрицательные с.в. с разными распределениями, зависящими от одного и того же параметра $x\in\mathbb R$.
При заданных $n\in\mathbb N$ и $x\in \mathbb R$, нужно найти функцию

$$f(\alpha;x,n)=(E\max\limits _{P(S_i<0)<\alpha,\forall i} S_n)(x)$$

(Оффтоп)

Надеюсь, все условия описал правильно

Подскажите, с чего начать? Заранее спасибо!

[_hum_]

vlad_light в сообщении #750425 писал(а):

капитал на каждом следующем шаге описывается формулой:

$$S_{n+1}=S_n-K^{(j)}+X^{(j)}, j=\overline {1,m}$$

Странная запись - слева в равенстве стоит число $S_{n+1}$, справа - множество чисел $\big\{S_n-K^{(j)}+X^{(j)}\big\}_{ j=\overline {1,m}}$.

[vlad_light]

$$S_{n+1}=S_n-K^{(j(S_n))}+X^{(j(S_n))}$$

так годится?
Детерминирована так, чтоб $P(S_n-K^{(j(S_n))}+X^{(j(S_n))}<0)<\alpha $. Поправил...

[_hum_]

нет, потому как непонятна зависимость $j = j(n)$ - она детерминирована и заранее известна или случайна?

и максимум по чем ищете?

п.с. плохо поправили

-- Вт июл 30, 2013 18:03:53 --

Но вообще, это похоже на теорию игр. Наверное там стоит решение похожих задач искать.

п.с. так какая явная зависимость $j = j(S)$? Она известна, или по ней тоже максимум ищется?

[vlad_light]

Я пока только на словах могу объяснить, может Вы мне поможете с составлением формулы? Тогда, возможно, я и сам смогу найти то, что мне нужно
Изначально у меня есть стартовый капитал $S_0$. На каждом шаге я выбираю одно из дел (их $m$ штук), в надежде получить прибыль $X$ (параметр $K$ уберём). Всякое дело может принести прибыль (или убыток) случайным образом (распределение $X$ известно). Причём, во всех делах присутствует один и тот же параметр $x$, от которого зависят соотв. функции распределения $X$. Далее я имею параметр риска $\alpha$, который определяет максимальную вероятность того, что у меня будет отрицательный баланс на след. шаге. На каждом шаге, в зависимости от капитала, я анализирую все возможные вклады и убираю из них те, которые могут обанкротить меня с вероятностью выше $\alpha$. Из всех оставшихся вариантов я выбираю тот, которой принесёт (в среднем) больше прибыли. В итоге я хочу посчитать вероятность обанкротиться и среднее значение прибыли за $n$ шагов.
Попробую ещё раз переписать.
$S_{n+1}=S_n+X(S_n)$ - получается, $X$ - простой случайный процесс (с конечным количеством значений). Я хочу найти вероятность банкротства $P(\cup\limits _{1\leq i\leq n}\{S_i <0\})$ и среднюю прибыль $E(S_n|\cap\limits _{1\leq i\leq n}\{S_i >0\})$ в зависимости от параметра $\alpha$.

[_hum_]

Я вас немного подредактировал:
"Изначально есть стартовый капитал $S_0$. На каждом шаге выбирается одно из дел (их $m$ штук), в надежде получить прибыль, описывающуюся для всякого дела $j$ случайной величиной $X^{(j)}$ с известным распределением вероятностей, зависящим от параметра $a$. Далее, номер дела $j$ на очередном шаге с текущим значением капитала $s$ выбирается (независимо от номера шага) по правилу

$$j(s) = \mathrm {arg} \max_{i: P(s + X^{(i)} < 0) < \alpha} \mathrm{E}(s + X^{(i)}),$$

[если множество индексов дел, по которому ищется максимум, пусто, то полагается.... <что?>].
Требуется найти вероятность обанкротиться и среднее значение прибыли за $n$ шагов, то есть, $P(\cup\limits _{1\leq i\leq n}\{S_i <0\})$ и $E(S_n|\cap\limits _{1\leq i\leq n}\{S_i >0\})$."

Если так, то получается картина стационарного марковского процесса.

-- Вт июл 30, 2013 19:59:49 --

как вариант ввести в данной марковской цепи поглощающее состояние, соответствующее отрицательному капиталу, и тогда вероятность разорения сведется к вероятности за $n$ шагов оказаться в этом поглощающем состоянии (вроде бы стандартная задача в теории марковских процессов).