ЦПТ без вторых моментов

[rj rl]

Здравствуйте! Вкратце проблема такова: имеется сумма одинаково распределённых случайных величин $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \xi_i$ с нулевыми средними; ясно, что она нормализуется при таких-то условиях, но вот вопрос - а что, если мы накладываем ограничение на существование моментов, так что второго вовсе нет? Есть ли вариант выкрутиться?

[ИСН]

А тогда, надо полагать, не нормализуется.

[Евгений Машеров]

Вообще говоря, ЦПТ неприменима.
Какая-нибудь сумма коши-распределённых величин будет коши-распределена.

[_hum_]

rj rl в сообщении #750394 писал(а):

а что, если мы накладываем ограничение на существование моментов, так что второго вовсе нет? Есть ли вариант выкрутиться?

У Феллера гляньте во втором томе про области притяжения. Там есть критерии, когда "можно выкрутиться", а когда нет.

[rj rl]

Благодарю вас!

[Евгений Машеров]

А именно к нормальному сходимость интересует?
Возможно, я неправ, но мне кажется,что при несуществовании вторых моментов может быть к какому-то устойчивому,но не к нормальному.

[--mS--]

При нормировке корнем из эн - безусловно: сходимость к нормальному обеспечивается наличием вторых моментов. При других нормировках возможна сходимость к нормальному и в отсутствии вторых моментов.

Критерий (который можно найти в указанном параграфе 8 гл. IX Феллера):
Пусть $X_1,X_2,\ldots$ независимы и одинаково распределены, $U(x)=\mathsf E(X_1^2\cdot \mathrm I(|X_1|<x))$ - усечённый второй момент. Существование последовательностей постоянных $a_n$ и $b_n$ таких, что $\dfrac{X_1+\ldots+X_n}{a_n}-b_n$ слабо сходится к нормальному распределению, равносильно тому, что функция $U(x)$ медленно меняется на бесконечности, т.е. $\dfrac{U(sx)}{U(x)}\to 1$ при $x\to+\infty$ для любого $s>0$.

Например (там же, параграф 4 гл. 8), распределение с плотностью $f(x)=2\dfrac{\ln |x|}{|x|^3}$, $|x|>1$. Для него нормирующая последовательность $a_n=\sqrt{n}\ln n$. Вообще, $a_n$ такова, что $n\dfrac{U(a_n)}{a_n^2}\to 1$.

[rj rl]

Сходимость именно к нормальному необязательна, упомянул её на автомате при постановке задачи. На самом деле нужна скорость убывания для $P(|\sum_{i=1}^n \xi_i | > nC)$, и Чебышева с первым моментом по тем или иным причинам недостаточно. n в правой части и определяет "максимальную" нормировку как $o(n)$, её должно хватить. Сейчас изучаю Феллера, весьма занятные результаты; никогда не читал этой книги, полагался на Ширяева.
--mS--, спасибо за саммари!