Сходимость из сходимости подпоследовательностей

[ИСН]

Это слишком разнородные и специфичные требования. Первое следует из второго и третьего, но не наоборот. И больше ничего.

[Dave]

ИСН в сообщении #750285 писал(а):

Это слишком разнородные и специфичные требования. Первое следует из второго и третьего, но не наоборот. И больше ничего.

Но зато каждое из них применимо к данной задаче. Счётным числом последовательностей, никак между собой, вообще говоря, не связанных, но удовлетворяющих хотя бы одному из них, нельзя покрыть натуральный ряд (и даже покрыть "почти весь" ряд, оставив только конечный кусок). Второе и третье условия, не следующие друг из друга, я использовал сам как альтернативные варианты доказательства бесконечности $\mathbb N\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}\{\lfloor a_j^n\rfloor\mid n\in\mathbb N\}$. Первое же предложил RIP.

-- 29.07.2013, 20:06 --

Sonic86 в сообщении #750284 писал(а):

Но $3\Rightarrow 2$, поскольку $3\Rightarrow x_n \succ n\sqrt{\ln n}$

А как же тогда $\frac 1 {1^2}+\frac 1 {1^2+1}+\frac 1 {2^2}+\frac 1 {2^2+1}+\frac 1 {3^2}+\frac 1 {3^2+1}+\dots$ ?

[Sonic86]

Dave в сообщении #750295 писал(а):

А как же тогда $\frac 1 {1^2}+\frac 1 {1^2+1}+\frac 1 {2^2}+\frac 1 {2^2+1}+\frac 1 {3^2}+\frac 1 {3^2+1}+\dots$ ?

Да, ошибка

[Dave]

А вторую часть кто-нибудь решил?

[Dave]

Ответом ко второй части является суперпозиция медленно изменяющейся и всюду плотной последовательностей. Например, $x_n=q_{s_n}$, где $s_n=\left[\sqrt{\ln n}\right]$, а $q_0, q_1, q_2, \dots$ - какая-либо нумерация множества рациональных чисел.