Можно ли применять ПЛП при вычислении суммы ряда?

[Ktina]

Вычитала в «Арифметике» Магницкого о Правиле Ложного Положения (ПЛП).
Сильная вещь, мне понравилась, решила применить при вычислении суммы следующего ряда:

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(3n-2)(3n+1)}$$

Предположим, что

$$\dfrac{1}{(3n-2)(3n+1)}=\dfrac{1}{3n-2}-\dfrac{1}{3n+1}$$

Тогда сумма нашего ряда будет равна

$$\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}-\dfrac{1}{10}+\dots =1$$

На самом же деле

$$\dfrac{1}{3n-2}-\dfrac{1}{3n+1}=\dfrac{3n+1-(3n-2)}{(3n-2)(3n+1)}=\dfrac{3}{(3n-2)(3n+1)}=\dfrac{1}{(3n-2)(3n+1)}\cdot 3$$

Поэтому сумма нашего ряда будет в три раза меньше, то есть будет равна

$$\dfrac{1}{3}$$

Можно ли так решать?

[zychnyy]

$\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{(3n-2)(3n+1)} =\sum_{n=1}^{\infty }[\frac{1}{3(3n-2)} -\frac{1}{3(3n+1)}] =(\frac{1}{3}-\frac{1}{12})+(\frac{1}{12} -\frac{1}{21} )+...+(\frac{1}{3(3n-5)}-\frac{1}{3(3n-2)})+(\frac{1}{3(3n-2)}-\frac{1}{3(3n+1)})+... \ =\lim_{n\to \infty}(\frac{1}{3}-\frac{1}{3(3n+1)})=\frac{1}{3}.$

(Оффтоп)

Ktina, это стандартный метод.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

zychnyy в сообщении #748225 писал(а):

Это стандартный метод

Да, его ещё Магницкий применял ;-)

[arseniiv]

Ktina в сообщении #748218 писал(а):

Можно ли так решать?

Это же как если бы вы приписали какой-нибудь неизвестный множитель $a$, а потом нашли его отдельно и получили численное значение ряда.