Сумма дробных долей

[Ward]

Здравствуйте друзья!

Пусть $M\in\mathbb{Z}$, $m>0,\text{gcd}(a,m)=1$,

$$S=\sum \limits_{x=M}^{M+m-1}\{f(x)\},$$

где в $[M, M+m-1]$ функция $f(x)$ имеет непрерывные производные $f'(x)$ и $f''(x)$, причем выполняются условия

$$f'(M)=\dfrac{a}{m}+\dfrac{\theta}{m^2}, |\theta|<1, \dfrac{1}{A}\leqslant |f''(x)|\leqslant \dfrac{k}{A},$$

где

$$1\leqslant m \leqslant \tau, \tau=A^{1/3}, A\geqslant 2, k\geqslant 1.$$

Доказать, что

$$\left|S-\dfrac{m}{2}\right|<\dfrac{k+3}{2}.$$

В доказательстве этой задачи функцию $f(x)$ разлагают в ряд Тейлора в точке $M$ и получают:

$$f(x)=f(M)+f'(M)(x-M)+\dfrac{f''(M+\xi)}{2}(x-M)^2,$$

где $0<\xi<m-1$. Тогда

$$S=\sum \limits_{x=M}^{M+m-1}\{f(x)\}=\sum \limits_{x=M}^{M+m-1}\left\{f(M)+f'(M)(x-M)+\dfrac{f''(M+\xi)}{2}(x-M)^2\right\}$$

$$=\sum \limits_{z=0}^{m-1}\left\{f(M)+f'(M)z+\dfrac{f''(M+\xi)}{2}z^2\right\}.$$

А дальше уже используется эта задача

Но у меня возникает такой вопрос: почему функцию $f(x)$ можно разлагать в ряд Тейлора в точке $M?$ Ведь функция $f(x)$ должна иметь первую и вторую производную в окрестности точки $M$, а в условии только в $[M,M+m-1]$
Пожалуйста помогите с этим моментом.

[Otta]

Ward в сообщении #747491 писал(а):

Но у меня возникает такой вопрос: почему функцию $f(x)$ можно разлагать в ряд Тейлора в точке $M?$ Ведь функция $f(x)$ должна иметь первую и вторую производную в окрестности точки $M$, а в условии только в $[M,M+m-1]$

Для остаточного члена в форме Лагранжа тех условий, что есть, вполне достаточно. Не вдаваясь в детали, там действие происходит на отрезке $[M,M+\Delta]$. Детали уточните, и лучше не по Википедии.
Единственная плохая ситуация, когда $m=1$, но в ней неравенство получится более грубыми средствами.