Наибольшая возможная мощность множества

[Ktina]

Элементами конечного множества $\mathbb S$ являются только неотрицательные вещественные числа.
Оказалось, что среди любых трёх его элементов найдутся два, произведение которых также является элементом $\mathbb S$.
Какова наибольшая возможная мощность $\mathbb S$?

[arqady]

Её не существует. Пример для $2013$- ти чисел:
$S=\{1,1,...,1,2,3,6\}$ для 2010 единиц.

[Ktina]

arqady,
Множество, а не мультимножество

[arqady]

Да, глупость написал.

[EtCetera]

Единица, 3 сверху и 3 снизу (итого 7). Больше не влезает вроде бы. Как-то маловато.
В общем виде все элементы можно записать так: $a^k$, $a>1$, $k=-3\dots 3$.
P.S. Логарифмированием можно перейти от рассмотрения произведений к рассмотрению сумм.

[Ktina]

EtCetera в сообщении #745523 писал(а):

Единица, 3 сверху и 3 снизу (итого 7). Больше не влезает вроде бы. Как-то маловато.

А что, 500 евро для нас уже не деньги? нуль для нас уже не число?

[EtCetera]

Неотрицательные прочитал как положительные, извиняюсь.
Но ноль сюда ничего не добавляет, кажется. Кроме самого себя.
Фразу про логарифмирование, впрочем, прошу вычеркнуть из протокола.

[Ktina]

EtCetera в сообщении #745534 писал(а):

Фразу про логарифмирование, впрочем, прошу вычеркнуть из протокола.

Ну почему же? Нуль отдельно посчитаем, а для положительных лог применим, заменив произведение на сумму.
Чем плохо?