система колеблющихся шариков

[laptop]

Добрый день
такая задача: дано $n$ шариков массы m, соединенные пружинами жесткости k ( стенка, пружина, шарик, пружина, шарик...пружина, шарик, стенка). Нужно определить частоты нормальных колебаний.

Решение: запишем второй закон Ньютона для шарика с номером i.

$$mx_{i}''=-k(x_{i}-x_{i+1})-k(x_{i}-x_{i-1})$$

Аналогично для (i+1)-ого шарика.
Тогда можно записать:
$ mx''=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0\\ 1 &-2 & 1 & 0 & \ldots & 0\\ \ldots\\ 0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 2 \end{pmatrix} $
Тогда нормальные частоты и есть собственные числа этой матрицы? как их посчитать. Для случая n=2, складывая уравнения и переходя к комплексному аргументу, получается все хорошо. а здесь вот неясно..

[Theoristos]

Eсли проблема практическая и матрица не слишком велика - можно загнать в Математику, там есть соотв. функции.
Об общих методах решения можно почитать в Вики http://en.wikipedia.org/wiki/Eigenvalue ... genvectors
Метод Крылова http://cseweb.ucsd.edu/classes/fa04/cse252c/sakumar.pdf

[zask]

laptop в сообщении #743271 писал(а):

Нужно определить частоты нормальных колебаний.

А зачем?

[DimaM]

laptop в сообщении #743271 писал(а):

как их посчитать. Для случая n=2, складывая уравнения и переходя к комплексному аргументу, получается все хорошо. а здесь вот неясно..

Ищете решение в виде $x=\sin kz\cdot\cos\omega t$ - получаете закон дисперсии (зависимость $\omega$ от $k$).
Ищете $k$, удовлетворяющие правому граничному условию.
Подставляете найденные значения в закон дисперсии.
PROFIT!!!

[Munin]

DimaM
Ну, это в случае бесконечного количества шариков. А для конечного есть точный рецепт?

[Ms-dos4]

Если все шарики и пружины одинаковые, то можно сделать так:
Пишем уравнения
$\[\left\{ \begin{array}{l} {x_0} = 0\\ m{{\ddot x}_j} = \frac{k}{m}({x_{j + 1}} - {x_j}) - \frac{k}{m}({x_j} - {x_{j - 1}})\\ {x_{n + 1}} = 0 \end{array} \right.\]$

Вводим комплексные амплидуты

$\[{x_j}(t) = {\mathop{\rm Re}\nolimits} [{e^{i\omega t}}{X_j}]\]$

$\[\left\{ \begin{array}{l} {X_0} = 0\\ 2\frac{k}{m}{X_j} - m{\omega ^2}{X_j} = \frac{k}{m}({X_{j + 1}} + {X_{j - 1}})\\ {X_{n + 1}} = 0 \end{array} \right.\]$

Ищем решение в виде $\[{X_j} = A\sin [\varphi j]\]$

Левое граничное условие удовлетворяется, для правого имеем

$\[\sin [\varphi (n + 1)] = 0 \Rightarrow {\varphi _\lambda } = \frac{{\pi \lambda }}{{n + 1}}\]$ , где $\[\lambda = 1,..,n\]$ (т.е. существует n мод)

Подставляя во 2-е уравнение имеем
$ \[(2\frac{k}{m} - m{\omega ^2})A\sin [\varphi j] = \frac{k}{m}(A\sin [\varphi (j + 1)] + A\sin [\varphi (j - 1)])\]$

$\[(2\frac{k}{m} - m{\omega ^2})A\sin [\varphi j] = \frac{{2k}}{m}A\sin [\varphi j]\cos [\varphi ]\]$

$\[2\frac{k}{m} - \frac{{2k}}{m}\cos [\varphi ] = m{\omega ^2}\]$

$\[2\frac{k}{m} - \frac{{2k}}{m}(1 - 2{\sin ^2}\frac{\varphi }{2}) = m{\omega ^2}\]$

$\[{\omega ^2} = \frac{{4k}}{{{m^2}}}{\sin ^2}\frac{\varphi }{2}\]$

Используя выражение для "фи"

$\[{\omega _\lambda } = \frac{{2\sqrt k }}{m}\sin [\frac{{\pi \lambda }}{{2(n + 1)}}]\]$

Если же все шарики разные (или разные пружины), то точно решить задачу для произвольного N нельзя, хотя бы ввиду невозможности точно решить алгебраическое уравнение N-ой степени (для нахождения собственных чисел).

[ewert]

laptop в сообщении #743271 писал(а):

$mx''=\begin{pmatrix}-2 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0\\1 &-2 & 1 & 0 & \ldots & 0\\\ldots\\0 & 0 & 0 & \ldots & 1 & 2 \end{pmatrix}$
Тогда нормальные частоты и есть собственные числа этой матрицы?

Там и матрица не совсем такая, и частоты не суть собственные числа, ну да не в том дело -- задача действительно сводится к собственным числам такой матрицы. А вот последние ищутся совершенно стандартно. Уравнение $A\vec u=\lambda\vec u$ -- это разностное уравнение второго порядка $u_{k+1}-2u_k+u_{k-1}=\lambda u_k$ с граничными условиями $u_0=0,\ u_{n+1}=0.$ Общее решение самого уравнения -- это $u_k=C_1q_1^k+C_2q_2^k$, где $q_{1,2}$ -- корни характеристического уравнения $q^2-(2+\lambda)q+1=0$. Далее, в принципе, надо рассматривать три случая в зависимости от дискриминанта, но можно сильно сэкономить. Если корни (и, соответственно, геометрические прогрессии) вещественны, то достаточно очевидно, что обоим граничным условиям одновременно удовлетворить не удастся. Если же комплексные, то это взаимно сопряжённые числа, по модулю равные единице, а тогда можно не мучиться и с самого начала искать решение в виде $u_k=C_1\cos(\varepsilon k)+C_2\sin(\varepsilon k)$. Можно сразу же выкинуть первое слагаемое (из-за левого граничного условия) и подставлять в уравнение только синус:

$$\sin\varepsilon(k+1)-2\sin\varepsilon k +\sin\varepsilon(k-1)=2\sin\varepsilon k\cdot\left(\cos\varepsilon-1\right)\equiv\lambda\sin\varepsilon k,$$

откуда $\lambda=-4\sin^2\dfrac{\varepsilon}2$. И остаётся только получить уравнение на эпсилоны из второго граничного условия: $\sin\varepsilon(n+1)=0\ \Leftrightarrow\ \varepsilon_m=\dfrac{\pi m}{n+1},\ m=1,2,\ldots,n.$

[Munin]

ewert в сообщении #745164 писал(а):

и частоты не суть собственные числа

Ох ты ничо себе, это как?

[ewert]

Munin в сообщении #745205 писал(а):

Ох ты ничо себе, это как?

Это молча. Это ДУ второго порядка по времени.

[Ms-dos4]

ewert
Ээм, а что, колебания описываются ДУ первого порядка что-ли? Они и есть второго порядка.
P.S.Я уже показал способ, как получить результат вообще без матриц. Но тем не менее частоты - собственные числа. Причём в любом случае. Хоть осцилляторы одинаковые, хоть разные. Про разницу в случаях я так же написал выше.

[Munin]

А. То есть с. ч. - это квадраты частот. Ну, тогда понятнее.

А то я аж поперхнулся.

[Ms-dos4]

Munin

(Оффтоп)

Ааа, математики как всегда по мелочам... Я и не понял сразу.

[ewert]

Ms-dos4 в сообщении #745252 писал(а):

Но тем не менее частоты - собственные числа.

Чего собственные числа-то?...

Я ведь против Вас ни разу не возразил. Ну разве что не понял, зачем Вам понадобилось жёсткость ещё раз на массу поделить; ну да это ладно -- мало ли у кого какие причуды.

Но -- чего конкретно собственные числа-то?...

[Ms-dos4]

ewert
Матрицы, чего ещё то.
P.S.Про массу да, что-то я там напортачил

[Munin]

Матрицы правой части $\ddot{x}=k_{ij}x.$