Получить (геометрическое) неравенство

[TOTAL]

Известно, что

$$\frac{AD'}{AD}=\frac{DC'}{DC}=\frac{CB'}{CB}=\frac{BA'}{BA}=\varepsilon$$

В каких пределах лежит

$$\frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}}?$$

(Это отношение площадей четырехугольников $KLMN$ и $ABCD$.)

[arqady]

Между нулём и единицей. Оценки точные. Даже я это сразу вижу.

[TOTAL]

arqady в сообщении #744787 писал(а):

Между нулём и единицей. Оценки точные. Даже я это сразу вижу.

При каком $\varepsilon$ между нулём и единицей?

[temp03]

задачка интересная. А реально ли найти $\frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}}$ при известном $\varepsilon$?

[TOTAL]

temp03 в сообщении #744792 писал(а):

задачка интересная. А реально ли найти $\frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}}$ при известном $\varepsilon$?

При известном $\varepsilon$ можно найти точные границы, в которых лежит $\frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}}$

[Sergic Primazon]

TOTAL в сообщении #744806 писал(а):

temp03 в сообщении #744792 писал(а):

задачка интересная. А реально ли найти $\frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}}$ при известном $\varepsilon$?

При известном $\varepsilon$ можно найти точные границы, в которых лежит $\frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}}$

$\frac{(1-\varepsilon)^3}{1-\varepsilon+\varepsilon^2} \le \frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}} \le \frac{(1-\varepsilon)^2}{1+\varepsilon^2}$

[TOTAL]

Sergic Primazon в сообщении #745195 писал(а):

$\frac{(1-\varepsilon)^3}{1-\varepsilon+\varepsilon^2} \le \frac{S_{KLMN}}{S_{ABCD}} \le \frac{(1-\varepsilon)^2}{1+\varepsilon^2}$

Правильно. Вот только достигается ли минимум?

[arqady]

Вот здесь что-то похожее:
http://www.scribd.com/doc/3034416/Const ... nother-One

[TOTAL]

arqady в сообщении #748745 писал(а):

Вот здесь что-то похожее:
http://www.scribd.com/doc/3034416/Const ... nother-One

Там слишком много понаписано. Скажем, условие, при котором отношение максимально, можно записать просто как

$$\left[(1+\varepsilon)x + (1-\varepsilon)y \right] \cdot \left[(1-\varepsilon)x - (1+\varepsilon)y \right] = 0,$$

где $x, y$ определяются тем, в каком отношении диагонали делятся точкой их пересечения:

$$x=\frac{CO}{AC} - \frac{1}{2}, \;\; y=\frac{BO}{BD} - \frac{1}{2}$$

Вообще, с помощью этих $x, y$ задача решается намного проще.