О жесткости неинерциальных систем отсчёта

[svv]

Source в сообщении #743470 писал(а):

В такой интерпретации утверждение о возможности синхронизации становится малосодержательным.

Может быть, у Вас есть сомнения, что ЛЛ синхронизацией называют именно это. Вы у них во многих местах увидите, что достаточным условием возможности синхронизации во всём пространстве является обращение в нуль компонент $g_{0k}, k=1,2,3$. А это условие выполнено для метрики Шварцшильда, хотя какая уж тут может быть синхронизация, если в Вашем смысле. В то же время, оно не выполняется для метрики равномерно вращающейся системы отсчета.

По-моему, понятие вполне содержательное. Технический момент: вместо перевода стрелок часов ЛЛ предпочитают просто указывать, какие два бесконечно близких события являются синхронными по отношению к данной системе отчёта: такие, для которых $g_{0i}dx^i=0$. Пользуясь этим условием, мы можем строить кривые, на которых это условие выполняется. Совершенно содержательный вопрос заключается в следующем: можем ли мы строить замкнутые кривые, на которых это условие выполняется, т.е. бесконечно близкие точки синхронны (в данной системе отсчета)? Существует ли пространственноподобная гиперповерхность, на которой выполнено условие?

[Source]

svv в сообщении #743650 писал(а):

хотя какая уж тут может быть синхронизация, если в Вашем смысле.

Да не в моем она смысле, а в закреплённом в литературе, начиная от работ Эйнштейна. Цитирую (1905):

Цитата:

Мы сделаем допущение, что это определение синхронности можно дать непротиворечивым образом и притом для сколь угодно многих точек и что, таким образом, справедливы следующие утверждения:
(1) если часы в В идут синхронно с часами в A, то часы в А идут синхронно с часами в В;
(2) если часы в А идут синхронно как с часами в В, так и с часами в С, то часы в В и С также идут синхронно относительно друг друга.

Процедура ЛЛ одностороння (в одну сторону по линии) и, очевидно, что для неё не выполняется условие непротиворечивости (1).
Поэтому, в любом случае, это некоторая "другая синхронизация".
Её можно назвать "однократной" и как угодно ещё. Но в любом случае это нужно оговаривать.

-- Пт июл 05, 2013 21:19:23 --

svv в сообщении #743650 писал(а):

В то же время, оно не выполняется для метрики равномерно вращающейся системы отсчета.

Тем не менее именно на окружности мы можем синхронизировать все часы в Эйнштейновском смысле, если ограничимся незамкнутой дугой окружности.

[Утундрий]

Munin в сообщении #742993 писал(а):

Вообще нет такой задачи: "описание неинерциальных систем отсчёта в СТО". Понимаете?

Что за ерунда! Всё равно что провозгласить: "При изучении евклидовой плоскости допустимы только декартовы координаты! Полярна ересь повинна смерти!!!111расрасрасадынадынрас"

[Munin]

Я не против криволинейных координат. Просто в классической механике криволинейные координаты (некоторого вида) имеют смысл неинерциальной системы отсчёта. А в релятивистской - уже нет. И называть их так теряет смысл.

[svv]

Source в сообщении #743687 писал(а):

Процедура ЛЛ одностороння (в одну сторону по линии) и, очевидно, что для неё не выполняется условие непротиворечивости (1).

Пусть построена линия, в которой бесконечно близкие точки синхронны в смысле $g_{0i}\frac{dx^i}{d\lambda}=0$. Сделаем замену $\lambda=-\mu$... и Вы хотите сказать, что $g_{0i}\frac{dx^i}{d\mu}$ уже не ноль?

Разумеется, у ЛЛ могут быть ошибки. Моя задача-минимум — показать, что в этом месте ошибок нет — ни на формальном, ни на идейном уровне.

[Source]

svv в сообщении #743704 писал(а):

Пусть построена линия, в которой бесконечно близкие точки синхронны в смысле $g_{0i}\frac{dx^i}{d\lambda}=0$.
Сделаем замену $\lambda=-\mu$... и Вы хотите сказать, что $g_{0i}\frac{dx^i}{d\mu}$ уже не ноль?
Разумеется, у ЛЛ могут быть ошибки. Моя задача-минимум — показать, что в этом месте ошибок нет — ни на формальном, ни на идейном уровне.

Прежде чем ответить на Ваш вопрос, давайте разберемся с тем, что делают ЛЛ на "идейном" уровне.

Начнём с того, что в ЛЛ синхронизируется не физическое время часов $\delta\tau=\sqrt{g_{00}}dt$, а координатное $x^0=t$.
Это заложено в их формулу (84.14) [издание 8-е]:

$\Delta x^0 = \frac{1}{2}\,(dx^{0(2)}+dx^{0(1)})=-\frac{g_{0\alpha}dx^\alpha}{g_{00}}.$

Это более чем странная деятельность, т.к. выбор координатного времени произволен.

По-хорошему, условие "односторонней, разовой синхронизации" (из точки $A:\,x^\alpha$ в точку $B:\,x^\alpha+dx^\alpha$ и обратно)
для физического времени надо записывать следующим образом:

\tau_B = \tau_A + \frac{g_{0\alpha}dx^\alpha}{\sqrt{g_{00}}}.

Отличие от (84.14) в корне и знаке.
(Знак, потому, что ЛЛ проводят синхронизацию в направлении уменьшения координаты,
т.е. из точки B в А, что немного не естественно, но не принципиально).

Пока мы не начали интегрирования, особой разницы в формулах нет.
Однако, при интегрировании она появляется, см.(88.4):

\Delta x^0 = -\int\frac{g_{0\alpha}dx^\alpha}{g_{00}}

Затем, ЛЛ пишут:
"продолжая подобную синхронизацию дальше, можно синхронизировать часы, т.е определить одновременность событий вдоль любой незамкнутой линии".
При этом неясно когда её надо продолжать (в момент когда сигнал вернулся в A или когда он достиг B или ...).
Для повторяемой и независимой от времени процедуры синхронизации, такое уточнение не потребовалось бы.
Если ориентироваться на (88.4), то синхронизацию по ЛЛ надо не продолжать, а проводить "одновременно"
на всей линии в момент координатного времени $t$ (по ещё не синхронизированным часам!).

Вас всё устраивает в такой деятельности?

[Утундрий]

Source в сообщении #743819 писал(а):

По-хорошему, условие "односторонней, разовой синхронизации" (из точки в точку и обратно)
для физического времени надо записывать следующим образом:

У ЛЛ происходит обмен световыми сигналами, а эта штука из каких соображений следует?

[Source]

Какая штука? Умножаем формулу ЛЛ на $\sqrt{g_{00}}$ (cвязь собственного и координатного времени).

[Утундрий]

Да, действительно. Я ориентировался на тон (А-а-а! Ландау был не прав!) и не заметил, что ничего не поменялось. Каюсь.
Но отчего именно умножаем, а не делим, например, на $8 \pi$?

[Source]

Это сарказм? А где табличка? :)
Пока Вы не интегрируете, умножайте хоть на распределение Максвелла. Читайте дальше.

[svv]

Source писал(а):

Прежде чем ответить на Ваш вопрос, давайте разберемся с тем, что делают ЛЛ на "идейном" уровне.

Да, конечно, надо выяснить, что они делают на идейном уровне.

1. Допустим, у Вас есть двое настоящих часов, и Вам необходимо их синхронизировать. Но конструкция часов такова, что вмешиваться в их работу нельзя — сломаются. Свои функции они выполняют хорошо, работают точно, но стрелки Вы не подкрутите, показания не сбросите и т.д.
Вопрос: означает ли это, что процедура синхронизации обречена на неудачу?
Ответ: разумеется, нет. Действительно существенным, физическим моментом в синхронизации является не "подведение стрелок", а установление пары событий ($A_1$ для первых часов и $A_2$ для вторых часов), которые являются в некотором смысле синхронными. Коль скоро такие события установлены, надо лишь зафиксировать показания первых часов $t_{A1}$ при наступлении события $A_1$ и вторых часов $t_{A2}$ при наступлении события $A_2$. Далее эти числа можно использовать как поправки и вычитать их из показаний часов, но (важно!) можно этого и не делать: зачем плодить сущности — по сути, новую систему отсчета?

2. ЛЛ описали процедуру синхронизации, опирающуюся на световые сигналы. Мы теперь обязаны синхронизировать часы только так? Не обязаны. Тогда зачем они описывали этот обмен сигналами? С единственной целью: показать, что в природе существует явление, опираясь на которое, синхронизацию можно корректно и недвусмысленно осуществить (применительно к двум бесконечно близким часам одной системы отсчета). Результатом их рассмотрения является условие синхронности бесконечно близких событий по отношению к системе отсчёта. Оно может быть компактно выражено как $dx_0=0$. Как видите, это условие симметрично. Самое важное, что оно уже не содержит никакой привязки к световым сигналам, и при теоретических построениях про обмен сигналами можно забыть.

3. Я воспринимаю условие синхронности как геометрическое. Xотя оно выражено у ЛЛ в терминах координат, в нём не так много "координатного". Пусть дана СО. Что это такое? "... необходимо, строго говоря, иметь совокупность бесконечного числа тел, заполняющих всё пространство, наподобие некоторой "среды". Такая система тел вместе со связанными с каждым из них произвольным образом идущими часами и является системой отсчёта в общей теории относительности". Дальше, "тремя пространственными координатами $x^1, x^2, x^3$ могут являться любые величины, определяющие расположение тел в пространстве, а временная координата $x^0$ может определяться произвольно идущими часами". Т.е. пространственные координаты — постоянные бирки на часах, а временная координата — показания часов.
Так вот, ни бирки на часах, ни их показания не важны для выражения условия синхронности. Только "движение тел, заполняющих пространство", то есть некоторое поле 4-скоростей $u$, или даже более общее поле времениподобных векторов. Кривая тогда "синхронна" по отношению к этому полю, если её касательный вектор $n$ в каждой точке ортогонален $u$.
Если же использовать бирки на часах и их показания как координаты, то из последней формулировки моментально можно получить формулу $dx^0=-\frac{g_{0\alpha}dx^{\alpha}}{g_{00}}$.

Source писал(а):

Отличие от (84.14) в корне и знаке.
(Знак, потому, что ЛЛ проводят синхронизацию в направлении уменьшения координаты,
т.е. из точки B в А, что немного не естественно, но не принципиально).

Нет, не поэтому отличие в знаке. А потому, что ЛЛ проводят процедуру, в некотором смысле противоположную Вашей. Вы движетесь, меняете свои пространственные координаты ($dx^{\alpha}$) и ищете, как нужно модифицировать показания следующих часов по отношению к предыдущим ($d\tau$), чтобы они оказались синхронизированы с предыдущими. А ЛЛ, меняя пространственные координаты ($dx^{\alpha}$), определяет, как надо сдвинуться и по временной координате ($dx^0$), чтобы попасть в синхронную точку (никак не модифицируя показания часов).

Понятно ли? Рассмотрим пример с конечными приращениями. Событие $A_1$: Вы находитесь у первых часов, и они показывают столько-то. Проводим синхронизацию по ЛЛ и ищем синхронное событие $A_2$ на мировой линии вторых часов (имеющей заданный сдвиг пространственных координат $\Delta x^{\alpha}$). Пусть найдено, что для попадания в $A_2$ нужен сдвиг временной координаты $\Delta x^0=-5$. Тогда в Вашем способе следует сдвинуть показания вторых часов на $+5$, чтобы попадать в $A_2$ изменением только пространственных координат (поскольку временные координаты $A_1$ и $A_2$ теперь равны). Ваш способ не хуже, Вы просто делаете другую вещь.

О $\sqrt{g_{00}}$ пока не говорим, OK?

[Утундрий]

Source в сообщении #743963 писал(а):

где табличка?

Спёрли.
Как и всегда, в России © маленький Эдвард Радзинский

Да, ЛЛ синхронизируют покоящихся в рассматриваемой с.о. наблюдателей. Это нужно понимать чётко, так как явно не проговаривается.

[Munin]

(Оффтоп)

Утундрий в сообщении #744003 писал(а):

Это нужно понимать чётко, так как явно не проговаривается.

У Ландау всё достаточно явно проговаривается, если обдумывать сказанное. Если из $A$ с очевидностью следует $B,$ то Ландау пишет только $A.$ Это нормально для серьёзных учебников и научных статей, но может шокировать тех, кто читал до этого только учебники школьные.

[Source]

svv, спасибо за развёрнутый ответ. С частью написанного я согласен, хотя и не проникся отличием в "подведении стрелок" с введением "поправок". Естественно так можно делать. Некоторые так делают и по жизни :)

(Оффтоп)

— Нонна, часы переводили 4 месяца назад!
— Вот я тогда и не перевела…
— Ну… Можешь уже и не переводить, что дорогие часы переводить почем зря

Давайте, чтобы не погрязнуть в частностях я начну с конца:

svv в сообщении #743972 писал(а):

Ваш способ не хуже, Вы просто делаете другую вещь.

Собственно я ещё ничего не делал. :) Давайте, чтобы было понятно, что противопоставляется ЛЛ я опишу правильный (с моей точки зрения) критерий синхронизации. Оговорюсь сразу, что он не мой и достаточно хорошо известен в литературе.
Запишем выражение для физического времени, которое получается при выделении полного квадрата по времени в интервале:

$$\delta \tau = \sqrt{g_{00}}\,dt + \frac{g_{0\alpha} dx^\alpha}{\sqrt{g_{00}}}$$

Если $\delta l$ - физическая длина, то $ds^2=\delta\tau^2-\delta l^2$. Величина $\delta\tau$ даёт разницу времен $\delta \tau=\tau_B-\tau_A$ двух соседних часов A и B при распространении света из A в B. Причём, эти часы синхронизированы по ЛЛ, путём обмена световыми сигналами (но не координатное время, а физическое).
Когда можно синхронизировать часы вдоль некоторой линии или во всём пространстве?
Естественно, тогда, когда выражение $\delta \tau$ можно проинтегрировать, т.е. получить функцию $\tau=\tau(t,x^\alpha)$, дающую значение физического времени данных часов по 4-координатам события. А это возможно, когда $\delta \tau$ является полным дифференциалом.
Именно это и служит критерием возможности синхронизации. Этот критерий не зависит от координатного произвола. В частности, такое важное в ЛЛ условие $g_{0\alpha}=0$ абсолютно не существенно (вообще, очевидно, что это чисто координатное условие и оно не должно сказываться на возможность или нет синхронизации).

Например, в равноускоренной системе отсчёта (однородное грав.поле) с диагональной метрикой, физическое время $\delta\tau = (1+ax)dt$ не является полным дифференциалом вдоль оси $x$, поэтому часы синхронизировать нельзя. Физическую причину этого я обсуждал ранее. В тоже время во вращающейся СО в координатах Борна метрика недиагональна, но физическое время

$$\delta \tau = \sqrt{1-(\omega r)^2}\,dt-\frac{\omega r^2 d\phi}{ \sqrt{1-(\omega r)^2}}$$

на незамкнутой окружности $r=const$ является полным дифференциалом, поэтому часы могут быть синхронизированы (в обычном Эйнштейновском смысле, с выполнением обоих требований непротиворечивости).

svv в сообщении #743972 писал(а):

Нет, не поэтому отличие в знаке. А потому, что ЛЛ проводят процедуру, в некотором смысле противоположную Вашей.

Да нет! Посмотрите их картинку в разделе синхронизации. Они посылают сигнал из точки $B$ в $A$ и далее. Причём координаты на этой линии уменьшаются. Поэтому в интеграле надо писать нижний предел $x^\alpha+\Delta x^\alpha$, а верхний $x^\alpha$. Поменяете пределы к "естественному" проядку и получится полюс.

Утундрий в сообщении #744003 писал(а):

Да, ЛЛ синхронизируют покоящихся в рассматриваемой с.о. наблюдателей.

Да. Точнее, привязанных к фиксированным координатам СО. Относительное расстояние между ними может изменяться.

[Denis Russkih]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #744016 писал(а):

Если из $A$ с очевидностью следует $B,$ то Ландау пишет только $A.$ Это нормально для серьёзных учебников и научных статей, но может шокировать тех, кто читал до этого только учебники школьные.

Мне вот всегда было интересно, где и как учат выводить из $A$ именно $B$, а не $F$ или $K$, к примеру?

Лично я всегда параноидально сомневаюсь в собственных выводах, очень сильно не доверяю своему мышлению. :) Слишком часто оказывалось, что цепочка рассуждений заводила меня куда-то не туда.

Если мне дать $A$, то я почти наверняка выведу из него $\text{Ы}$, а вовсе не $B$.

Поэтому, когда я пытаюсь решать задачи по математике, то для меня обычный алгоритм:
1. Решить задачу.
2. Заглянуть в конец учебника, где ответы к задачам, и убедиться, что я решил её неправильно. :)
3. Долго и нудно отступать назад в рассуждениях, отыскивая момент, где я свернул не туда.
4. Повторно решить задачу, начиная с этого места.
5. (Рандомно.) В последний момент неожиданно получить совсем не тот результат, который, как я уже знаю, является правильным ответом. Вернуться к пункту 3.
6. Решить наконец задачу правильно!
7. Перейти к следующей задаче. Решить её неправильно.
8. Перейти к пункту 2.

В таких условиях я не доверяю даже своим выводам $A \rightarrow B$, не говоря уже о $A \rightarrow B \rightarrow C$.

Может, есть более умные методы рассуждений, которые мне не известны?.. Как учёный вообще может быть уверен в своих умозаключениях, ведь в реальной жизни нет заранее известных ответов, по которым можно себя проверить?.. Можно же запросто в научной работе пятьдесят страниц назад случайно перепутать плюсик с минусом, и все труды коту под хвост?

P.S. Однажды очень давно в школьном задачнике я наткнулся на ответ к задаче, который вынес мне мозг. Я никак не мог понять, как можно получить такой результат, рассуждая правильно. Зато если сделать небольшую ошибку, то получается именно такой ответ. До сих пор мне кажется, что там была ошибка, причём именно ошибка рассуждений, а не опечатка. Но я не могу быть в этом уверен! Зная свой разум, думаю, всё-таки высока вероятность, что это я рассуждал как-то не так. :)