последовательность

[max.uspex]

Помогите придумать контрпримеры для последовательности, которая имеет 1 предельную точку и при этом:

1. сходится. Можно ли придумать контрпример?
2. расходится. Это неверно, т.к. существует $a_n = \frac 1 n$
3. ограничена. Это неверно, т.к. существует $a_k = (\frac 1 k)^k$, где $k \in (-\infty; + \infty)$
4. неограничена. Это неверно, т.к. существует $a_n = \frac 1 n$

[ИСН]

Контрпримеры бывают не у последовательностей, а у утверждений. В п.1, например, Вы какое утверждение имели в виду?

[max.uspex]

простите за неточность.

Если последовательность имеет одну предельную точку, то она непременно сходится.

Подходит ли контрпример в моем первом сообщении для утверждения "если последовательность имеет одну предельную точку, то она ограничена" В моем примере нет первого элемента, а это, кажется, противоречит понятию последовательности, у которой всегда есть некоторый $a_1$

[devgen]

max.uspex
"Смешайте" бесконечно большую и бесконечно малую последовательности

[iifat]

max.uspex в сообщении #743150 писал(а):

В моем примере нет первого элемента

Напоминает предложение по экономии на железной дороге: поскольку при аварии последний вагон разбивается сильнее, предлагалось его отцеплять для экономии. Чтобы у поезда не было последнего вагона.

-- 05.07.2013, 10:03 --

max.uspex в сообщении #743150 писал(а):

Подходит ли контрпример в моем первом сообщении для утверждения "если последовательность имеет одну предельную точку, то она ограничена"

У вас там два примера, один из которых ограничен, а второй не последовательность, но, если не ошибаюсь, вполне ограниченное множество точек. Какой вы имеете в виду?