О жесткости неинерциальных систем отсчёта

[В. Войтик]

Munin в сообщении #743289 писал(а):

Специально для идиотов: $\gamma^0-\gamma.$

Почему бы Вам не узнать значение частоты собственной прецессии Томаса?

[epros]

Source в сообщении #743105 писал(а):

epros в сообщении #743056 писал(а):

Стержень движется в лабораторной ИСО вдоль себя с постоянной скоростью $v$, а потом в некий момент разом меняет скорость на $-v$. В системе покоя стержня, как бы мы ни выбирали гиперповерхности $t=\operatorname{const}$, пространственная метрика от времени зависеть не будет.

Вы имеет ввиду, что и до и после метрика имеет вид: $dt^2-dx^2$ ?

Я имел в виду именно то, что написал, не больше и не меньше. Это очень простая задача, прочитайте внимательно. И, кстати, пространственная метрика ($\gamma_{\alpha \beta} = -g_{\alpha \beta} + \frac{g_{0 \alpha} g_{0 \beta}}{g_{0 0}}$) через $dt$ не записывается, ибо она определяет только расстояния, а не интервалы пространства-времени.

Source в сообщении #743105 писал(а):

"Внезапно" в теории относительности ничего не происходит :).
Реально надо рассматривать фазу ускоренного перехода от одной скорости к другой.

Какую ещё «фазу»? Вам сказано: «в некий момент разом» меняет скорость на противоположную — это значит, что мгновенно и одновременно (по часам лабораторной ИСО) все точки стержня начинают двигаться в противоположном направлении — таково условие задачи. Ничего принципиально противоречащего СТО в этом условии нет.

Если Вы не можете понять такой простой пример, то не удивительно, что различия между «локальной» и «глобальной» жёсткостью ставят Вас в тупик. Картинки, что ли, порисуйте.

[В. Войтик]

epros в сообщении #743311 писал(а):

Вам сказано: «в некий момент разом» меняет скорость на противоположную — это значит, что мгновенно и одновременно (по часам лабораторной ИСО) все точки стержня начинают двигаться в противоположном направлении — таково условие задачи.

ПМСМ -ключевые слова.

-- Чт июл 04, 2013 21:53:10 --

Source в сообщении #742972 писал(а):

Правы Вы в том, что ключевым для объяснения расхождения в двух критериях жесткости является различный темп хода часов (физического времени) в разных точках НИСО.

На мой взгляд объяснением расхождения в локальном и радиолокационном критериях жёсткости является переменная координатная скорость света (гравитационная задержка сигнала). Подтверждением этого служит и эффект Шапиро.

[Source]

Munin

(Оффтоп)

Munin в сообщении #743262 писал(а):

Это я вообще не вам писал. А у вас недостаточно знаний, чтобы искать ошибки в Ландау-Лифшице.

Неужели Вам интереснее обсуждать умственные ограничения Ваших собеседников, а не физические проблемы?
По-моему проще было объяснить почему Ландау прав, а моё замечание ошибочно.
К тому же, Вас об этом ещё один человек попросил.

В. Войтик

(Оффтоп)

В. Войтик в сообщении #743250 писал(а):

Попробуйте, например, выразить через $\gamma$ частоту прецессии Томаса.

Ваше, конечно, дело, но разве это принципиально какие обозначения использовать?
Я, например, $\gamma$-у люблю. И еще дополнительно использую $\Gamma=(\gamma-1)/v^2$.
Но иногда проще и с корнем напрямую работать.
Это же всего лишь вопрос вкуса.

-- Чт июл 04, 2013 22:18:51 --

epros:

В. Войтик в сообщении #743322 писал(а):

epros в сообщении #743311 писал(а):

Вам сказано: «в некий момент разом» меняет скорость на противоположную — это значит, что мгновенно и одновременно (по часам лабораторной ИСО) все точки стержня начинают двигаться в противоположном направлении — таково условие задачи.

ПМСМ -ключевые слова.

Присоединяюсь.
В сопутствующей к стержню СО (до переворота) он не перевернётся одновременно и будет некоторое время деформироваться.
В т.ч. для наблюдателей, связанных с его концами.

Про $dt$ я ничего такого не писал.

В. Войтик в сообщении #743322 писал(а):

Source в сообщении #742972 писал(а):

Правы Вы в том, что ключевым для объяснения расхождения в двух критериях жесткости является различный темп хода часов (физического времени) в разных точках НИСО.

На мой взгляд объяснением расхождения в локальном и радиолокационном критериях жёсткости является переменная координатная скорость света (гравитационная задержка сигнала).

Смотрите, в НИСО Борна-Мёллера всегда можно ввести координаты так, что координатная и физическая скорость будут совпадать.
Соответствующая метрика имеет вид:
$ds^2=e^{2ax}(dt^2-dx^2)$.
Однако, и в этом случае будет расхождение между физической длиной и радиолокационным расстоянием, которое измеряет наблюдатель в точке $x=0$.
Первая будет равна $l_{ph}=(e^{ax}-1)/a$, а вторая $l_{r}=x$.

[Munin]

Source в сообщении #743342 писал(а):

Неужели Вам интереснее обсуждать умственные ограничения Ваших собеседников, а не физические проблемы?

Физических проблем в этой ветке нет.

Source в сообщении #743342 писал(а):

По-моему проще было объяснить почему Ландау прав, а моё замечание ошибочно.
К тому же, Вас об этом ещё один человек попросил.

А ковыряние в ошибках Ландау в этой ветке вообще офтопик.

[Source]

Munin:

(Оффтоп)

Munin в сообщении #743355 писал(а):

А ковыряние в ошибках Ландау в этой ветке вообще офтопик.

Что-то я не нашел этого в правилах. А вот такая формулировка есть:

Цитата:

Публикуя свои взгляды на форуме, автор принимает на себя обязательства вежливо, четко и по существу отвечать на вопросы, заданные участниками обсуждения. Безусловно обязательны ответы на вопросы, заданные несколькими участниками.

Или это относится только к зачинателям темы?
И так, для общего развития. Кто ещё кроме Ландау здесь неприкасаем?

[svv]

Source в сообщении #743249 писал(а):

Например, в Ландау-Лифшице т.2 п.85 утверждается, что в произвольной СО

Цитата:

можно синхронизовать часы, т.е. определить одновременность событий вдоль любой незамкнутой линии.

Однако, даже в статической метрике системы Борна-Мёллера (аналог однородного грав.поля) часы,
расположенные вдоль вектора ускорения, идут с различной скоростью.
Если мы вначале синхронизировали пару таких часов, а затем повторили синхронизационный эксперимент,
то получим в результате их рассинхронизацию.

Когда ЛЛ говорят о синхронизации часов, не имеется в виду "синхронизировать раз и навсегда, чтобы они в будущем они оставались синхронны". Конечно, это в общем случае невозможно. ЛЛ говорят лишь о начальной, исходной синхронизации. Но дело в том, что даже в таком "однократном" смысле синхронизация вдоль замкнутого контура (не говоря уже о синхронизации на гиперповерхности) не всегда возможна.

[В. Войтик]

(Оффтоп)

Source в сообщении #743342 писал(а):

В. Войтик в сообщении #743250 писал(а):

Попробуйте, например, выразить через $\gamma$ частоту прецессии Томаса.

Ваше, конечно, дело, но разве это принципиально какие обозначения использовать?
Я, например, $\gamma$-у люблю. И еще дополнительно использую $\Gamma=(\gamma-1)/v^2$.
Но иногда проще и с корнем напрямую работать.
Это же всего лишь вопрос вкуса.

Да я не понимаю, а в чём удобство-то использования $\gamma$? Была б ещё она стандартной функцией... Да и то, уже есть стандартная функция - квадратный корень. В чём смысл использования нестандартной функции вместо стандартной? Это первое. Второе. Там где она обычно используется всегда приходится давать её расшифровку. То есть там, где Вы пишете 2 формулы, я использую одну. Третье. Вот это выражение $(\gamma-1)/v^2$ как-то выглядит половинчато... То есть было бы как-то правильнее что-ли, если уж считать, что $\gamma$ безусловно нужная функция, выразить и $v^2$ через $\gamma$. Но тут будет сразу видно, что это выражение надо обозначать новой буквой, что Вы и сделали. И потом, никто не даст гарантии, что не появится ещё какое-то новое громоздкое выражение от $v$. Его тоже надо обозначать новой буквой?

Source в сообщении #743342 писал(а):

Смотрите, в НИСО Борна-Мёллера всегда можно ввести координаты так, что координатная и физическая скорость будут совпадать.
Соответствующая метрика имеет вид:
$ds^2=e^{2ax}(dt^2-dx^2)$.
Однако, и в этом случае будет расхождение между физической длиной и радиолокационным расстоянием, которое измеряет наблюдатель в точке $x=0$.
Первая будет равна $l_{ph}=(e^{ax}-1)/a$, а вторая $l_{r}=x$.

Хм. Хороший контрпример...

-- Пт июл 05, 2013 09:45:55 --

svv в сообщении #743404 писал(а):

Когда ЛЛ говорят о синхронизации часов, не имеется в виду "синхронизировать раз и навсегда, чтобы они в будущем они оставались синхронны". Конечно, это в общем случае невозможно. ЛЛ говорят лишь о начальной, исходной синхронизации. Но дело в том, что даже в таком "однократном" смысле синхронизация вдоль замкнутого контура (не говоря уже о синхронизации на гиперповерхности) не всегда возможна.

А вот такой пример. Рассмотрим вращающуюся систему отсчёта. В начале отсчёта-центре вращения находится источник сигналов. Эти сигналы распространяются от источника до удалённых точек относительно вращающейся системы по одной траектории, а возвращаются уже по другой. Таким образом относительно вращающейся системы отсчёта траектория сигналов представляет собой замкнутый контур. Тем не менее в такой вращающейся системе отсчёта можно с помощью этого источника синхронизировать удалённые часы с часами в центре. Как Вы это объясните?

[Source]

svv в сообщении #743404 писал(а):

Когда ЛЛ говорят о синхронизации часов, не имеется в виду "синхронизировать раз и навсегда, чтобы они в будущем они оставались синхронны". Конечно, это в общем случае невозможно. ЛЛ говорят лишь о начальной, исходной синхронизации.

В такой интерпретации утверждение о возможности синхронизации становится малосодержательным.
С таким же удовольствием мы можем объявить синхронизированными часы двух различных инерциальных систем отсчёта.
Наблюдатель посылает в момент t1 сигнал к движущимся относительно него часам, получая его обратно в момент t2
и рекомендует установить на этих часах время t'=(t1+t2)/2.
То, что повторение процедуры приведет к выводу, что часы не синхронизированы - не страшно. Их можно снова синхронизировать. :)
Но мы так, конечно, не говорим.
Можно синхронизировать часы только в рамках одной инерциальной системы, а не во всех сразу.
Другое дело, что всегда можно выбрать одинаковое начало отсчёта времени на любых двух часах,
как это мы делаем, записывая преобразования Лоренца.
Но это не имеет отношения к синхронизации времени совокупности часов.
Не согласны?

-- Пт июл 05, 2013 10:15:47 --

В. Войтик в сообщении #743442 писал(а):

Тем не менее в такой вращающейся системе отсчёта можно с помощью этого источника синхронизировать удалённые часы с часами в центре.

Нет нельзя. По той же причине, что и в равноускоренной системе - темп хода часов на различных расстояниях различен.

Процедура синхронизации воспроизводима только для часов, находящихся на незамкнутом сегменте окружности.
Однозначная синхронизация всех часов на окружности невозможна (тот самый замкнутый контур).
Под замкнутостью ЛЛ имееют ввиду не путь сигнала (он всегда при световой синхронизации замкнут),
а линию в пространстве на которой находятся часы.

[В. Войтик]

Source в сообщении #743470 писал(а):

Нет нельзя. По той же причине, что и в равноускоренной системе - темп хода часов на различных расстояниях различен.
Процедура синхронизации воспроизводима только для часов, находящихся на незамкнутом сегменте окружности.
Однозначная синхронизация всех часов на окружности невозможна (тот самый замкнутый контур).
Под замкнутостью ЛЛ имееют ввиду не путь сигнала (он всегда при световой синхронизации замкнут),
а линию в пространстве на которой находятся часы.

Почему это нельзя? Часы находящиеся на расстоянии $r$ от центра получают сигнал от источника в момент $r$ (по часам в центре) и ставятся в этот момент на это показание. Вот Вам и однократная синхронизация, причём не только на контуре, а везде, во всём пространстве. То, что эта синхронизация однократная неважно. Часы мы возьмём не физические, которые везде идут с одинаковой скоростью, а координатные, которые идут со скоростью в $\sqrt{1-\Omega^2 r^2}$ раз медленнее чем физические. Таким образом достаточно однократной синхронизации и эта синхронизация будет выполняться постоянно.

[Munin]

(Оффтоп)

Source в сообщении #743380 писал(а):

Что-то я не нашел этого в правилах.

Про офтопик? Ну ищите, ищите. Успеете раньше модератора - молодец.

Source в сообщении #743380 писал(а):

Кто ещё кроме Ландау здесь неприкасаем?

Ландау не неприкасаем. Просто вам сначала надо букварь выучить. И повторяю, Ландау здесь - офтопик.

(Оффтоп)

В. Войтик в сообщении #743442 писал(а):

Да я не понимаю, а в чём удобство-то использования $\gamma$?

Писать меньше.

В. Войтик в сообщении #743442 писал(а):

Была б ещё она стандартной функцией...

Она и есть стандартная функция, "гамма-фактор" или иногда Lorentz gamma. Стандартная в СТО. Все понимают, что она значит. Кстати, вот другая функция, $\Gamma\equiv\gamma^{-1},$ не стала стандартной. Функция $\beta=v/c$ всё ещё общепонятна, но избыточна в системе единиц $c=1,$ так что упоминается только в устаревших или слишком популярных изложениях. Ещё одна величина имеет общепринятое название, но не имеет общепринятого обозначения: "быстрота" rapidity $\theta\equiv\operatorname{arch}\gamma.$ Её обозначают так же, как угол: $\theta,\varphi.$

В. Войтик в сообщении #743442 писал(а):

Там где она обычно используется всегда приходится давать её расшифровку. То есть там, где Вы пишете 2 формулы, я использую одну.

Вот в том-то и дело, что вы пишете обычно формулы по одной. А когда надо написать 20 формул, то выбор другой: написать 20 длинных, или 21 короткую.

В. Войтик в сообщении #743442 писал(а):

Третье. Вот это выражение $(\gamma-1)/v^2$ как-то выглядит половинчато...

Потому что Source высосал его из пальца, в противоположность общепринятому смыслу $\Gamma$ (видимо, чтобы запутать читателя). И ни для чего оно не нужно.

В. Войтик в сообщении #743442 писал(а):

То есть было бы как-то правильнее что-ли, если уж считать, что $\gamma$ безусловно нужная функция, выразить и $v^2$ через $\gamma$.

Это идиотская логика. Не нужно.

В. Войтик в сообщении #743442 писал(а):

И потом, никто не даст гарантии, что не появится ещё какое-то новое громоздкое выражение от $v$. Его тоже надо обозначать новой буквой?

Я дам такую гарантию. После того, как принято обозначение $\gamma\equiv\ch\operatorname{arth}v$ ($c=1$), становятся доступны все гиперболические функции:
$\ch\operatorname{arth}v\equiv\gamma$
$\sh\operatorname{arth}v\equiv\gamma v$
$\th\operatorname{arth}v\equiv v$
$\operatorname{arsh}\gamma v=\operatorname{arch}\gamma=\operatorname{arth}v$
и никакие операции из них не выведут.

(Оффтоп)

В. Войтик в сообщении #743442 писал(а):

А вот такой пример. Рассмотрим вращающуюся систему отсчёта. В начале отсчёта-центре вращения находится источник сигналов. Эти сигналы распространяются от источника до удалённых точек относительно вращающейся системы по одной траектории, а возвращаются уже по другой. Таким образом относительно вращающейся системы отсчёта траектория сигналов представляет собой замкнутый контур. Тем не менее в такой вращающейся системе отсчёта можно с помощью этого источника синхронизировать удалённые часы с часами в центре. Как Вы это объясните?

То, что в каком-то частном специально подобранном случае синхронизация вдоль замкнутого контура возможна, никак не противоречит тому, что в общем случае она вдоль замкнутого контура невозможна.

Source в сообщении #743470 писал(а):

В такой интерпретации утверждение о возможности синхронизации становится малосодержательным.

Для двоечников, не знающих ни ОТО, ни СТО, - да.

[В. Войтик]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #743262 писал(а):

В. Войтик в сообщении #743250 писал(а):

Значит некоторые со мной согласны.

Нет, не значит. Значит, никаких обычаев и стандартов по этому поводу нет.

Munin в сообщении #743565 писал(а):

В. Войтик в сообщении #743442 писал(а):

Была б ещё она стандартной функцией...

Она и есть стандартная функция, "гамма-фактор" или иногда Lorentz gamma. Стандартная в СТО. Все понимают, что она значит.

[Munin]

(Оффтоп)

Стандарт, что такое $\gamma,$ есть. Стандарта, что обязательно надо использовать именно её, нет. Что непонятно? Или просто посмеяться захотелось, без повода?

-- 05.07.2013 16:18:30 --

(Оффтоп)

P. S. Добавление.

Разумеется, никто не заставляет использовать именно гамму, быстроту, и другие штучки. Но тут всё зависит от того, кто и для чего выкладки пишет, и кто их, предположительно, читает. Здесь есть несколько вариантов:
- учебники для школьников, и других людей, не связанных с теорией относительности;
- учебники для физиков, которые будут использовать теорию относительности;
- статьи специалистов для специалистов, и расчёты для внутреннего употребления, как теоретические, так и технические.
Так вот, в учебниках для сторонней публики специальные обозначения употребляться не будут, потому что они ничего не меняют в излагаемой сути, а читателю и так сложно освоиться с новым для себя математическим аппаратом. В текстах для специалистов специальные обозначения используются интенсивно, поскольку они дают существенную экономию сил, бумаги, и ясность получаемых выражений. А в учебниках для будущих специалистов эти обозначения будут вводиться, чтобы не оказались неожиданностью, когда будущий специалист с ними столкнётся в реальных статьях и в реальной работе.

[Source]

В. Войтик в сообщении #743563 писал(а):

Часы находящиеся на расстоянии $r$ от центра получают сигнал от источника в момент $r$ (по часам в центре) и ставятся в этот момент на это показание. Вот Вам и однократная синхронизация, причём не только на контуре, а везде, во всём пространстве.

Вы имеете ввиду синхронизацию часов на окружности?
Такая процедура не сделает их синхронизированными друг с другом в смысле правила $(t_1+t_2)/2$.
Рассмотрите ситуацию, когда $r\mapsto \infty$, а $\omega\mapsto 0$ так, что $r\omega<1$.
Если угловое расстояние двух часов на окружности небольшое, они движутся практически прямолинейно, находясь в ИСО.
С точки зрения наблюдателя в центре (или в лабораторной СО) информация о вспышке придет к часам одновременно.
Но для наблюдателей в сопутствующей ИСО это будут неодновременные события.
Если эти часы проведут синхронизационный эксперимент, они это обнаружат.

Во вращающейся системе отсчёта принципиально нельзя однозначно синхронизировать часы на всей окружности,
несмотря на одинаковый темп хода таких часов.
Возможна только синхронизация часов, находящихся на любом незамкнутом сегменте окружности.

-- Пт июл 05, 2013 18:33:32 --

(Оффтоп)

Munin в сообщении #743565 писал(а):

В. Войтик в сообщении #743442 писал(а):

Третье. Вот это выражение $(\gamma-1)/v^2$ как-то выглядит половинчато...

Потому что Source высосал его из пальца, в противоположность общепринятому смыслу $\Gamma$ (видимо, чтобы запутать читателя). И ни для чего оно не нужно.

$t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}),~~~~~~ {\mathbf r}' = {\mathbf r} - \gamma{\mathbf v} t + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf r}). $

$\mathbf{u}' = \frac{\displaystyle\mathbf{u}-\gamma\mathbf{v} + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf u})} {\displaystyle\gamma\,(1-\mathbf{u}\mathbf{v})}. $

$\mathbf{n}\,d\phi = -\Gamma\,[\mathbf{v}\times d\mathbf{v}].$

$\left\{ \begin{array}{l} \mathbf{E}' = \gamma\, ( \mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}) - \Gamma\,\mathbf{v} (\mathbf{v}\mathbf{E}),\\ \mathbf{B}'=\gamma\,(\mathbf{B}-\mathbf{v}\times\mathbf{E}) - \Gamma\,\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{B}). \end{array} \right.$

[Munin]

(Оффтоп)

Source в сообщении #743638 писал(а):

$$t'=\gamma\, (t-{\mathbf v}{\mathbf r}),~~~~~~ {\mathbf r}' = {\mathbf r} - \gamma{\mathbf v} t + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf r}). $$

$$\mathbf{u}' = \frac{\displaystyle\mathbf{u}-\gamma\mathbf{v} + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf u})} {\displaystyle\gamma\,(1-\mathbf{u}\mathbf{v})}. $$

$$\left\{ \begin{array}{l} \mathbf{E}' = \gamma\, ( \mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}) - \Gamma\,\mathbf{v} (\mathbf{v}\mathbf{E}),\\ \mathbf{B}'=\gamma\,(\mathbf{B}-\mathbf{v}\times\mathbf{E}) - \Gamma\,\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{B}). \end{array} \right.$$

Если заметить, что все ваши (некорректные) $\Gamma$ встречаются в составе выражений $\Gamma\mathbf{v(va)},$ то станет очевидно, что это просто кривой способ записать $(\gamma-1)\mathbf{n}_{v}(\mathbf{n}_{v}\mathbf{a})=(\gamma-1)\mathbf{a}_\parallel.$ Больше ни для чего он не нужен. Кроме того, сразу видно, что он распадается на $\gamma\mathbf{a}_\parallel$ и $\mathbf{a}_\parallel$: сокращается то первое, то второе слагаемое,
$\mathbf{a}+\Gamma\mathbf{v(va)}=\gamma\mathbf{a}_\parallel+\mathbf{a}_\perp,$
$\gamma\mathbf{a}-\Gamma\mathbf{v(va)}=\mathbf{a}_\parallel+\gamma\mathbf{a}_\perp.$
Такие варианты записи гораздо более наглядны и просты. Ну а работать удобней вообще с 4-величинами.

И ещё раз напоминаю, поскольку принято всё-таки использовать этот символ в смысле Лоренца $\Gamma=\sqrt{1-v^2/c^2},$ то выбранное вами для него обозначение в принципе некорректно.