Равномерная и поточечная сходимость ряда

[xFirefly]

Проверьте плз правильно ли я нашел сходимость следующего ряда на 2х интервалах $(0;1)$ и $(1;+\infty)$:

сумма по $n$ от $\arctg(\dfrac{nx}{n^3 + x^3})$

Поточечная видно, что есть.

А придумать подпоследовательность $x(n)$ не получилось, чтобы опровергнуть равномерную сходимость на одном из интервалов.

Тогда я сказал, что $xn \leqslant \dfrac{x^2+y^2}{2}$. Тогда $\arctg(\dfrac{nx}{n^3 + x^3}) \leqslant \arctg(\dfrac{n^2 + x^2}{2(n^3 + x^3)}) = \arctg(\dfrac{n^2 }{2(n^3 + x^3)} + \dfrac{x^2 }{2(n^3 + x^3)}) $. Каждая дробь стремится к нулю для двух интервалов, при $n\to+\infty$ $\Rightarrow\arctg \to 0 \ \Rightarrow$ функциональный ряд сходится равномерно.
Верно ли то, что я написал или я где-то допустил ошибку?
Спасибо!

Deggial: формулы поправил. Обратите внимание на правильный набор: каждая формула (даже отдельные короткие термы) заключается целиком в одну пару долларов. В случае плохо набора формул тема будет перемещена Карантин.
И посмотрите как суммы набирать в FAQe.

[xFirefly]

Хорошо, буду знать.

[Otta]

xFirefly в сообщении #742801 писал(а):

Каждая дробь стремится к нулю для двух интервалов,

Поточечно, так?
И что же это Вам дало?

[ewert]

Непонятно, при чём тут единичка. На каждом ограниченном промежутке равномерность сходимости тривиальна.

Вот на бесконечности -- вопрос чуть-чуть более деликатный. Там надо просто найти максимум по номерам членов ряда при каждом иксе (даже и не найти в явном виде, а попросту зафиксировать некую более-менее линейную связь между номером максимума и иксом). После чего уже самую малость покрутиться.

[xFirefly]

Otta в сообщении #742964 писал(а):

xFirefly в сообщении #742801 писал(а):

Каждая дробь стремится к нулю для двух интервалов,

Поточечно, так?

Нет поточечную сходимость я пропустил, так как там вроде все понятно. Если $x = \operatorname{const}$, то $n^3$ перебивает $n^2$. Так как поточечная сходимость есть, то можно проверять на равномерную сходимость.

Далее я написал выкладки для равномерной сходимости.
Из того, что функция большая, чем заданная стремится к нулю(этот вывод я сделал из того, что обе дроби стремятся к нулю, можно сделать вывод (по теореме Вейерштрасса о равномерной сходимости функционального ряда), что ряд равномерно сходится.

ewert в сообщении #742968 писал(а):

Непонятно, при чём тут единичка. На каждом ограниченном промежутке равномерность сходимости тривиальна.

Ну для этой задачи вроде получается так, но если бы условие было бы другое, то совсем не факт, что это было бы верно. В некоторых задачах, например, берется $x = \dfrac{1}{n}$ и доказывается, что равномерной сходимости на интервале от $(0;1)$

ewert в сообщении #742968 писал(а):

Вот на бесконечности -- вопрос чуть-чуть более деликатный. Там надо просто найти максимум по номерам членов ряда при каждом иксе (даже и не найти в явном виде, а попросту зафиксировать некую более-менее линейную связь между номером максимума и иксом). После чего уже самую малость покрутиться.

Можете немного поподробнее, что Вы имели ввиду. С помощью какой теоремы Вы предлагаете доказать равномерную сходимость?

[Otta]

xFirefly в сообщении #742970 писал(а):

Далее я написал выкладки для равномерной сходимости.
Из того, что функция большая, чем заданная стремится к нулю(этот вывод я сделал из того, что обе дроби стремятся к нулю, можно сделать вывод (по теореме Вейерштрасса о равномерной сходимости функционального ряда), что ряд равномерно сходится.

Поточечно! Для использования теоремы Вейерштрасса нужна равномерная оценка, посмотрите как следует условие теоремы.
И у Вас ряд, а не последовательность, одной лишь (даже равномерной) сходимости к нулю общего члена недостаточно для сходимости (даже поточечной).

-- 03.07.2013, 23:15 --

xFirefly в сообщении #742970 писал(а):

Можете немного поподробнее, что Вы имели ввиду. С помощью какой теоремы Вы предлагаете доказать равномерную сходимость?

Сделайте сперва для первого промежутка, на втором потом будете смотреть.