x^3 -3x+1

[ertyu]

if $a,b,c $ are the roots of$ x^3 -3x+1 = 0$, find the value of

$\frac{1}{a^2-a-2} - \frac{1}{a^2+a-2}+\frac{ 1}{a^2-2a+1} - \frac{1}{a^2+2a+1} +a^2b+b^2c+c^2a$

[ewert]

$x^3+px+q=0,\qquad p=-3,\ q=1;$

$(a^2b+b^2c+c^2a)+(ab^2+bc^2+ca^2)=3q=3,$
$(a^2b+b^2c+c^2a)(ab^2+bc^2+ca^2)=p^3+9q^2=-18;$

$a^2b+b^2c+c^2a=-3 \text{ или } 6;$

$\text{итого }\{-1;8\}.$

[sopor]

$x=2\cos t$
$\cos (3t)=-\frac {1}{2}$
$a=2\cos \frac {2\pi}{9},b=2\cos \frac {8\pi}{9},c=2\cos \frac {14\pi}{9},$
Поэтому 6 быть не может

[nnosipov]

sopor в сообщении #742329 писал(а):

Поэтому 6 быть не может

Может, косинусы здесь совершенно не по делу.

[sopor]

nnosipov в сообщении #742337 писал(а):

sopor в сообщении #742329 писал(а):

Поэтому 6 быть не может

Может, косинусы здесь совершенно не по делу.

Да, действительно может, мы ведь можем косинусы "переставлять"

[ewert]

nnosipov в сообщении #742337 писал(а):

косинусы здесь совершенно не по делу.

Косинусы-то по делу (они, скажем, автоматически всплывут из-под Кардано); только вот в дальнейшем с ними -- некоторое занудство.

[nnosipov]

ewert в сообщении #742404 писал(а):

только вот в дальнейшем с ними -- некоторое занудство.

Вот именно. Тем более, что они в принципе не нужны, только отвлекают.

[ewert]

Но я ("не в интересах истины, а в интересах правды") скажу, что и второе из тех двух моих уравнений -- тоже некоторое занудство. Т.е. не знаю, как его получить его быстро, без нудных расписываний. Единственное, что его хоть как-то оправдывает -- что оно чисто алгебраическое.

[nnosipov]

ewert в сообщении #742434 писал(а):

Единственное, что его хоть как-то оправдывает -- что оно чисто алгебраическое.

Это его полностью оправдывает --- задача-то алгебраическая. В частности, занудство запланировано заранее. И здесь проще вспомнить про системы компьютерной алгебры, чем придумывать разные хитрости. Сюжет, откровенно говоря, скучноват.

[ewert]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #742451 писал(а):

Сюжет, откровенно говоря, скучноват.

Зацеплюсь за это.

Не скажу, что он не олимпиаден. Конечно, первые четыре дроби тут не пришей кобыле хвост, хотя сами по себе они тоже любопытны как упражнение. Эстетически плохо, что они подцеплены к последним трём слагаемым. А вот последние, по-моему, достаточно олимпиадны; во всяком случае, как их элегантно оформить -- я так и не знаю.

[nnosipov]

ewert в сообщении #742465 писал(а):

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #742451 писал(а):

Сюжет, откровенно говоря, скучноват.

Зацеплюсь за это.

Не скажу, что он не олимпиаден. Конечно, первые четыре дроби тут не пришей кобыле хвост, хотя сами по себе они тоже любопытны как упражнение. Эстетически плохо, что они подцеплены к последним трём слагаемым. А вот последние, по-моему, достаточно олимпиадны; во всяком случае, как их элегантно оформить -- я так и не знаю.

(Оффтоп)

У себя в файлах нашёл такую формулировку: пусть $x_1$, $x_2$, $x_3$ --- корни многочлена $x^3-3x^2+1$, причём $x_1<x_2<x_3$. Найдите $x_1/x_2+x_2/x_3+x_3/x_1$. Где я эту задачу взял, уже не помню, но дело довольно давно было.