Последние цифры степени

[Ktina]

Найти наименьшее натуральное $n$, для которого существует такое натуральное $k$, что последние 2013 цифр десятичной записи числа $n^k$ равны 1.

[ИСН]

2013 - это дико много, пусть будет 3. Тогда $n=31$ (а степень нужна будет 7).

-- менее минуты назад --

Чем дальше в лес, тем толще партизаны! $71^{13}=\dots1111$

[ИСН]

Так, я тут отвлёкся немного. $71^{1513}=\dots11111$

[ИСН]

А $1031^{2257}=\dots111\,111$. Вот ведь какая джигурда!

-- менее минуты назад --

И наконец, $1111^{227\,251}=\dots1\,111\,111$

-- менее минуты назад --

Вложение:

da_nu.jpg

Решил, что до 2013 не пойду.

[temp03]

интересное свойство, что все числа вида $..a11$ через цикл степени равный $10$ оканчиваются на $11$. Например $311^{11}=..911$. Следующий цикл через $10$ даёт уже $311^{21}=..511$. Ну и наконец, третий даёт $311^{31}=..91111$. Если предположить, что выше эти циклы тоже повторяются, а также учитывая, что нижние цифры (разряды) не меняются, то $311^{k}=..a1111$ - цикл снова повторится. И так далее подбирая всё новые и новые верхние разряды

[Shadow]

ИСН, мне кажется, зря Вы оставили число 71.
$\\71^{13}=\cdots 1111\\ 71^{1513}=\cdots 11111\\ 71^{6513}=\cdots 1111111$

[Dave]

Shadow в сообщении #742212 писал(а):

ИСН, мне кажется, зря Вы оставили число 71.

Мне тоже кажется, что зря.

Можно доказать по индукции, что при любом $i \in \mathbb N$:

$$71^{175 \cdot 10^i}-(10^{i+3}+1) \; \vdots \; 10^{i+4}.$$

А это даст нам найти нужный $x$ и осуществить индуктивный переход

$$9 \cdot 71^k +1 \; \vdots \; 10^i \quad \Rightarrow \quad 9 \cdot 71^{k+x} +1 \; \vdots \; 10^{i+1},$$

при $i \geqslant 4$. При $i=4$, как справедливо было замечено, можно взять $k=13$. Это же количество цифр ($i=4$), кстати - минимальное, при котором отсеиваются все $n<71$.

[temp03]

но задачка классная

[Dave]

А вот похожая, но посложнее. (Не моя и решения пока не знаю).

Доказать, что существует бесконечно много $n$ таких, что $2^n$ оканчивается на $n$.

[ИСН]

Таких у нас - целый растущий хвост, кончающийся на $\dots432\,948\,736$. Уж наверное, это не просто так.

-- менее минуты назад --

А, ну всё ясно. Из делимости $10^k$ на $\varphi(5^k)$ явствует, что $2^{36},\;2^{136},\;2^{236}\dots$ тупо кончаются на одни и те же три цифры. Ну и дадим ему такую первую цифру, чтоб подходила под эти три. И дальше везде так.

[Dave]

ИСН в сообщении #742733 писал(а):

Из делимости $10^k$ на $\varphi(5^k)$...

Вы хотели сказать: "из делимости $10^{k-1}$ на $\varphi(5^k)$" ?

[ИСН]

Да, разумеется.

[Dave]

Усилил утверждение и выделил в отдельную тему.

[maxal]

Dave в сообщении #742440 писал(а):

А вот похожая, но посложнее. (Не моя и решения пока не знаю).

Доказать, что существует бесконечно много $n$ таких, что $2^n$ оканчивается на $n$.

См. post61174.html#p61174

[maxal]

По теме исходной задачи добавил последовательность A229029.
Предлагаю доказать, что задача не имеет решение в двоичной системе счисления и имеет таковое в системах счисления с основаниями больше 2-х.