Теория полей

[moscow5]

Помогите решить следующие 2 задачки:
1. Для поля $F_{16}$ найти неприводимый полином из $F_2[x]$, корень $\alpha$ которого порождает группу $F_{16}^*$. Выписать все степени $\alpha$ как полиномы от $\alpha$ степени меньше 4.

2. Пусть $\alpha \in F_{p^2}$ - корень полинома $x^2+ax+b, a,b \in F_p$.
a) при $\alpha \notin F_p, c, d \in F_p$ доказать, что $(c\alpha+b)^{p+1} \in F_p$;
б) пусть $i$ - квадратичный корень из -1 в поле $F_{19^2}$. Найти $(2+3i)^{101}$

[Sonic86]

moscow5 в сообщении #741923 писал(а):

1. Для поля $F_{16}$ найти неприводимый полином из $F_2[x]$, корень $\alpha$ которого порождает группу $F_{16}^*$. Выписать все степени $\alpha$ как полиномы от $\alpha$ степени меньше 4.

Ну попытайтесь найти какой-нибудь полином. Какова должна быть его степень?

moscow5 в сообщении #741923 писал(а):

a) при $\alpha \notin F_p, c, d \in F_p$ доказать, что $(c\alpha+b)^{p+1} \in F_p$;

видимо, опечатка: $(c\alpha+d)^{p+1} \in F_p$

[VAL]

А где ваши попытки решения?

И уточните условие 2. a)

[moscow5]

Sonic86 в сообщении #741933 писал(а):

moscow5 в сообщении #741923 писал(а):

a) при $\alpha \notin F_p, c, d \in F_p$ доказать, что $(c\alpha+b)^{p+1} \in F_p$;

видимо, опечатка: $(c\alpha+d)^{p+1} \in F_p$

Да, вы правы.

VAL в сообщении #741934 писал(а):

А где ваши попытки решения?

Я даже не знаю с чего начать.

[VAL]

moscow5 в сообщении #742014 писал(а):

VAL в сообщении #741934 писал(а):

А где ваши попытки решения?

Я даже не знаю с чего начать.

Начните с ответов на самые простые вопросы:
Что такое неприводимый полином?
Сколько имеется полиномов 4-й степени с коэффициентами из $\mathbb Z_2$?
Каким должен быть свободный член полинома, чтобы ноль не был его корнем?
Сколько ненулевых коэффициентов должен иметь полином, чтобы единица не была его корнем?