Нули голоморфной функции

[Chernoknizhnik]

Базовый вопрос по комплексному анализу - почему множество нулей голоморфной в области функции дискретно? (т.е. они друг от друга отделяются кружками).

[Otta]

По теореме единственности.

[Chernoknizhnik]

Спасибо, конечно. Правда, задавая базовый вопрос, участник рассчитывает не на название некоторой общей теоремы (которая, я не исключаю, в некоторой мере использует дискретность или нечто подобное), а на некоторое указание к решению.

[Otta]

Участник! Сделайте одолжение, прочитайте теорему единственности. В учебниках всегда присутствует, вместе со следствиями. Ваша задача - это ее прямое следствие. Это и есть указание к решению, настолько, что практически полное решение. Так что не надо "не исключать", надо брать книжку и читать. Раз уж название теоремы Вам ни о чем не говорит.

ЗЫ И из той же теоремы единственности следует, что на самом деле, есть случай, когда нули изолированными не будут. Ровно один.

[g______d]

Смотря чем можно пользоваться. Например, если мы знаем про ряд Тейлора, то в окрестности любой точки $z_0$ мы можем представить функцию в виде $(z-z_0)^n g(z)$, где $g(z)\neq 0$ в окрестности $z_0$ – просто вынося за скобки соответствующий множитель.

[Chernoknizhnik]

Спасибо, g______d!
Otta, я имел в виду, что хотел бы как можно меньше техники использовать. И теорему единственности я прочитал (А у Вас сейчас 666 сообщений!)

[Otta]

Chernoknizhnik в сообщении #741412 писал(а):

(А у Вас сейчас 666 сообщений!)

О ужас. Немедленно исправляюсь.
Chernoknizhnik
Хорошо, что прочитали. Рада, что g______d Вам понравился больше. Только справедливости ради (по отношению к результатам), хочу добавить, что теорема единственности - как раз качественный результат, с ее использованием техники минимум. Может, Вы хотели выразиться иначе. Например, использовать как можно менее сильнодействующие результаты. )))

И не забудьте про это:

Otta в сообщении #741408 писал(а):

на самом деле, есть случай, когда нули изолированными не будут. Ровно один.

[ewert]

Otta в сообщении #741413 писал(а):

Только справедливости ради (по отношению к результатам), хочу добавить, что теорема единственности - как раз качественный результат, с ее использованием техники минимум.

Только справедливости ради следует иметь в виду, что теорема единственности является следствием несгущения нулей, которое, в свою очередь, является прямым следствием тейлора. После чего, разумеется, можно ещё раз доказать несгущение нулей, исходя уже из теоремы единственности.

[Otta]

ewert

(Оффтоп)

Вот вредный, а. Да я помню, Вы знаете. Даже хотела посоветовать почитать доказательство, но тут и без меня посоветовали.