Высший пилотаж

[ish-vlad]

Задача для гурманов.(Не для моего уже измученного ореха)
Итак, что нам дано:
i) $G$ - конечная абелева группа
ii) $|G| = 2k+1$
iii)$\sigma\in Aut(G)$
iv)$\sigma \in S(G) \cong S_{|G|} $
v)$(\frac {\sigma}{G}) = sign(\sigma) = (-1)^\sigma$
Надо доказать, что из этого непременно следует:
$(\frac {\sigma}{G}) =(-1)^{|\sigma(S) \cap (-S)|}$

[Sonic86]

Из iv) следует iii)
Что такое $\left(\frac{\sigma}{G}\right)$? Это нечто, определяемое в v) ? $\operatorname{sign}(\sigma)$ - это четность перестановки?
Что такое $(-1)^{\sigma}$? Имелось ввиду $(-1)^{|\sigma |}$?
И что такое $-S$?

[ish-vlad]

Пардон, недосказанность получилась.

Sonic86 в сообщении #724563 писал(а):

Что такое $\left(\frac{\sigma}{G}\right)$? Это нечто, определяемое в v) ?

Абсолютно верно, просто обозначение.

Sonic86 в сообщении #724563 писал(а):

$\operatorname{sign}(\sigma)$ - это четность перестановки?
Что такое $(-1)^{\sigma}$? Имелось ввиду $(-1)^{|\sigma |}$?

Да, да и ещё раз да. Если перестановка чётная, то выражение будет равно 1, иначе -1.

Sonic86 в сообщении #724563 писал(а):

И что такое $-S$?

Итак, пусть $S=\{x_1,x_2,...,x_n\}$. Тогда $G=\{0\}\{x_1,x_2,...,x_n\}\{-x_n,...,-x_1\}$

[Sonic86]

(Оффтоп)

Я, к сожалению, уже туплю, потому вопросы будут больше формальные

Давайте считать, что термы $(-1)^{\sigma}$ и $(-1)^{|\sigma |}$ я не видел, а четность перестановки $\sigma$ буду обозначать $\operatorname{sign}(\sigma)$. Тогда все понятно, но насчет $(-1)^{|\sigma(S) \cap (-S)|}$ еще спрошу.

ish-vlad в сообщении #724570 писал(а):

Sonic86 писал(а):

И что такое $-S$?

Итак, пусть $S=\{x_1,x_2,...,x_n\}$. Тогда $G=\{0\}\{x_1,x_2,...,x_n\}\{-x_n,...,-x_1\}$

Прочитал, термина $-S$ в ответе не нашел. Попробую телепатически: у Вас запись операции в $G$ аддитивна, тогда $G$ разбивается на $0$ и множество пар $\{x_j, -x_j\}$ таких, что $x_j-x_j=0$. Тогда $-S := G\setminus (S\cup \{0\})$?
Ну в принципе осмысленно...
Значит нам надо доказать $\operatorname{sign}(\sigma)=(-1)^{|\sigma(S) \cap (-S)|}$. Некорректно: как $\sigma$ связана с $S$? Или $S$ произвольно? $S$ не содержит нуля? Наверное не содержит...
А на фига нам тогда тот факт, что $G$ - группа? Он вообще здесь никак не привязан.
Пусть $\sigma = (12)$. Ясно, что $\sigma$ - нечетная перестановка. Выберем $k=2, G:=\mathbb{Z}_5^+, S:=\{1,2\}$. Тогда $\sigma (S)=S, |\sigma (S)\cap (-S)|=0$, утверждение неверно.

Короче, сформулируйте задание нормально.

[ish-vlad]

Сформулировал задание:
i) $G$ - конечная абелева группа
ii) $|G| = 2k+1$
iii)$\sigma\in Aut(G)$
iv)$\sigma \in S(G) \cong S_{|G|} $
Надо доказать, что из этого непременно следует:
$(-1)^{sign \sigma} =(-1)^{|\sigma(S) \cap (-S)|}$
Пусть $S=\{x_1,x_2,...,x_n\}$. Тогда $G=\{0\}\{x_1,x_2,...,x_n\}\{-x_n,...,-x_1\} = \{0\}\{S\}\{-S\}$

Иными словами, как я понял, нужно доказать, что четность перестановки $\sigma$ определяется количеством членов, переходящих из $S$ в $-S$ при перестановки $\sigma$.
И нужно подсчитать кол-во инверсий из одного множества в другое. Понятное дело, что $\sigma(0)=0$. А как дальше считать, я без понятия.

[Xaositect]

Все-таки, напишите нормально, что такое $S$?

ish-vlad в сообщении #741356 писал(а):

$G=\{0\}\{x_1,x_2,...,x_n\}\{-x_n,...,-x_1\} = \{0\}\{S\}\{-S\}$

Это бессмысленная формула. Что Вы подразумеваете, когда пишете подряд два множества без каких-либо знаков между ними?

[ish-vlad]

Xaositect в сообщении #741361 писал(а):

Все-таки, напишите нормально, что такое $S$?

ish-vlad в сообщении #741356 писал(а):

$G=\{0\}\{x_1,x_2,...,x_n\}\{-x_n,...,-x_1\} = \{0\}\{S\}\{-S\}$

Это бессмысленная формула. Что Вы подразумеваете, когда пишете подряд два множества без каких-либо знаков между ними?

Естественно, под этой формулой я подразумеваю объединение данных множеств
$G=\{0\}\cup\{x_1,x_2,...,x_n\}\cup\{-x_n,...,-x_1\} = \{0\}\cup\{S\}\cup\{-S\}$

Даже, проще говоря, в данной формулировке у нас $k = n$.

-- 29.06.2013, 14:27 --

Sonic86 в сообщении #724657 писал(а):

(Оффтоп)

Я, к сожалению, уже туплю, потому вопросы будут больше формальные

Давайте считать, что термы $(-1)^{\sigma}$ и $(-1)^{|\sigma |}$ я не видел, а четность перестановки $\sigma$ буду обозначать $\operatorname{sign}(\sigma)$. Тогда все понятно, но насчет $(-1)^{|\sigma(S) \cap (-S)|}$ еще спрошу.

ish-vlad в сообщении #724570 писал(а):

Sonic86 писал(а):

И что такое $-S$?

Итак, пусть $S=\{x_1,x_2,...,x_n\}$. Тогда $G=\{0\}\{x_1,x_2,...,x_n\}\{-x_n,...,-x_1\}$

Прочитал, термина $-S$ в ответе не нашел. Попробую телепатически: у Вас запись операции в $G$ аддитивна, тогда $G$ разбивается на $0$ и множество пар $\{x_j, -x_j\}$ таких, что $x_j-x_j=0$. Тогда $-S := G\setminus (S\cup \{0\})$?
Ну в принципе осмысленно...
Значит нам надо доказать $\operatorname{sign}(\sigma)=(-1)^{|\sigma(S) \cap (-S)|}$. Некорректно: как $\sigma$ связана с $S$? Или $S$ произвольно? $S$ не содержит нуля? Наверное не содержит...
А на фига нам тогда тот факт, что $G$ - группа? Он вообще здесь никак не привязан.
Пусть $\sigma = (12)$. Ясно, что $\sigma$ - нечетная перестановка. Выберем $k=2, G:=\mathbb{Z}_5^+, S:=\{1,2\}$. Тогда $\sigma (S)=S, |\sigma (S)\cap (-S)|=0$, утверждение неверно.

Короче, сформулируйте задание нормально.

$\sigma$ у нас автоморфизм($\sigma(0)=0$). Поэтому данный пример некорректен
$\sigma(0)=\sigma(1-1)=\sigma(1)+\sigma(-1)=2-1=1$