Доказать, что функция константа

[hurrdurrrderp]

Всем спасибо, я разобрался.

[ewert]

Чтобы применилась теорема о среднем, надо сочинить производную специального вида. Пусть $u(t_1)\neq u(t_2)$; выберем настолько маленькие окрестности $\Delta_1=(t_1-\varepsilon;t_1+\varepsilon)$ и $\Delta_2=(t_2-\varepsilon;t_2+\varepsilon)$, что $u(\tau_1)\neq u(\tau_2)$ при всех $\tau_1\in\Delta_1$ и $\tau_2\in\Delta_2$. Теперь выберем производную $x'(t)$ так, чтобы она была неположительна в одной окрестности, неотрицательна в другой и равна нулю на остальных отрезках. В этом случае интеграл от производной по одной окрестности равен минус интегралу по другой и равен, допустим, $M$; тогда по теореме о среднем полный интеграл от произведения равен $M(u(\tau_1)-u(\tau_2))\neq0$.

[Oleg Zubelevich]

По большей части утверждение носит алгебраический характер. Всякая функция $x$ из стартового поста может быть представлена в виде $x(t)=\int_a^t w(s)ds$ где $\int_a^bw(s)ds=0$ и соответственно $\int_a^bw uds=0$. Ядро одного функционала принадлежит ядру другого функционала, по теореме о множителях Лагранжа $\int_a^bu vds=const\int_a^b vds$ для любого ( непрерывного) $v(x)$.

[ewert]

По большому счёту это -- теорема о единственности (с точностью до константы) первообразной от обобщённой функции, и тогда она стандартным образом сводится к стандартному утверждению: если $\int\limits_a^by(t)u(t)\,dt=0$ для любой гладкой функции $y$ (пусть и с нулями на концах, не важно), то $u(t)=0$ почти всюду. И этот пункт никак не обойдёшь, явно или неявно он понадобится. Но если в дебри не забираться и ограничиться доказательством только для непрерывных $u$, то проще всего через теорему о среднем, тогда более ничего хоть сколько-то продвинутого не понадобится.

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #740639 писал(а):

По большей части утверждение носит алгебраический характер. Всякая функция $x$ из стартового поста может быть представлена в виде $x(t)=\int_a^t w(s)ds$ где $\int_a^bw(s)ds=0$ и соответственно $\int_a^bw uds=0$. Ядро одного функционала принадлежит ядру другого функционала, по теореме о множителях Лагранжа $\int_a^bu vds=const\int_a^b vds$ для любого ( непрерывного) $v(x)$.

Красивое решение.
А вот этого я не понял

Oleg Zubelevich в сообщении #740523 писал(а):

hurrdurrrderp в сообщении #740456 писал(а):

Есть С[a;b] - пространство непрерывных на отрезке функций, и есть его подпространство $ L = \lbrace x(t) \in C^1[a;b] \wedge x(a)=x(b)=0 \rbrace $. $u(t) \in C[a;b]$. Нужно доказать, что если $ \forall x \in L \int_a^b x'(t)u(t)dt = 0$, то $u(t)=const$.

для гладких $u$ утверждение доказывается легко. Гладкие функции плотны $C[a,b]$

И что?

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #740966 писал(а):

А вот этого я не понял

я тоже