Неприводимость

[razdvatri]

$ a_1 , ... , a_n \in \mathbb {Z} $
$ a_i \neq a_j
Доказать, $ (a_1 - 1)...(a_n - 1) - 1 $ непр. на $ \mathbb{Z} $

[Sonic86]

Я что-то не врубился. Вы хотите сказать, что $(a_1-1)...(a_n-1)-1$ простое?

[razdvatri]

Ссори, хотела сказать: доказать неприводимость.

[Joker_vD]

$a_1=4$, $a_2=8$.

$(a_1-1)(a_2-1)-1=3\cdot7-1=20$ — неприводимо?

[Null]

$ (x-a_1 )...(x-a_n) - 1 $ - неприводим. Я угадал?

[razdvatri]

Верны ли мои рассуждения?
От противного: Пусть $(a_1-1)...(a_n-1)-1$ приводим, т.е. $(a_1-1)...(a_n-1)-1=f(x)g(x)$, пусть $a_1 = 1$.
$(-1)^n(1-a_1)...(1-a_n)-1=f(x)g(x)=k(1-a_1)-1$, где $k>0$.
Т.к. $a_1=1$, то $f(x)g(x)=-1$. Тогда $g(x)+f(x)=0$ и $g(x)=-f(x)$. Отсюда следует, что $k(x-a_1)-1=-(f(x))^2$, но $k>0$.
Если же $a_i\neq1, i=1, ..., n$, то мы просто будем получать многочлен нулевой степени.
А из неприводимости над $\mathbb{Z}$ следует неприводимость над $\mathbb{Q}$.

[VAL]

razdvatri в сообщении #738524 писал(а):

Верны ли мои рассуждения?
От противного: Пусть $(a_1-1)...(a_n-1)-1$ приводим [...]

Приводимым или неприводимым может быть полином ненулевой степени. А у Вас - константа.

[apriv]

VAL в сообщении #738558 писал(а):

Приводимым или неприводимым может быть полином ненулевой степени.

Отчего бы это? Полиномы нулевой степени ничуть не хуже.

[VAL]

apriv в сообщении #738755 писал(а):

VAL в сообщении #738558 писал(а):

Приводимым или неприводимым может быть полином ненулевой степени.

Отчего бы это? Полиномы нулевой степени ничуть не хуже.

Хуже (о чем, я полагаю, Вы догадываетесь ничуть не хуже меня). Как правило, их исключают из рассмотрения при определении неприводимости.
Обычно под неприводимым полиномом понимают полином ненулевой степени, который нельзя представить в виде произведения двух полиномов меньших степеней.
Понятно, что так принято при рассмотрении полиномов над полем, а у ТС они над кольцом $\mathbb Z$. Но из дальнейших рассуждений ТС таки видно, что она пытается представить записанное целое число в виде произведения непостоянных многочленов, зависящих от x.

Если все же рассматривать неприводимость в более широком смысле (неприводимый элемент кольца), то тривиальный контрпример утверждению ТС уже приведен выше (Joker_vD).

Так что, в любом случае, утверждение ТС либо бессмысленно, либо неверно.

[apriv]

VAL в сообщении #738770 писал(а):

Понятно, что так принято при рассмотрении полиномов над полем

Поскольку только для полиномов над полем это эквивалентно настоящему определению. Мы все догадались, что ТС неправильно формулирует задачу, но это не повод давать неправильные определения.

[razdvatri]

Все верно подмечено, задание было сформулировано неправильно.
Как заметил Sonic86, речь действительно должна идти о простоте.
Тысяча извинений
Видимо, задание должно звучать так:
Доказать, что $(a_1-1)...(a_n-1)-1$ непросто на $\mathbb{Z}$.

[Deggial]

razdvatri в сообщении #738825 писал(а):

Видимо, задание должно звучать так:
Доказать, что $(a_1-1)...(a_n-1)-1$ непросто на $\mathbb{Z}$.

Это тоже неверно (в общем случае).