Восстановление векторных сомножителей

[serval]

Пусть мы умножили векторно $n$ векторов. Можно ли по результирующему вектору однозначно восстановить исходные векторы-сомножители?

[SpBTimes]

Так а вы хоть на примере двух посмотрите

[serval]

С этого начал. Если бы знал как закончить - не спрашивал бы.

[sergei1961]

Можно на языке координат перейти к чистой алгебре. Система трёх нелинейных уравнений с 6 неизвестными...

[serval]

Эту систему можно решить?

[Otta]

serval в сообщении #737885 писал(а):

С этого начал. Если бы знал как закончить - не спрашивал бы.

Ну и что там вышло на примере двух? Или ничего не вышло?

[serval]

Вышла банальность - 3 известных выражаются через 6 неизвестных, что и так ясно.

-- Вт июн 18, 2013 14:34:09 --

Есть сильное дополнительное условие - исходные векторы являются строками треугольника Паскаля. Но я не соображу как его применить даже в случае умножения двух векторов.

[sergei1961]

Вроде отсюда ясно, что неоднозначно. Например, если один вектор из решений поделить на 3, а другой умножить, то векторное произведение вроде не изменится... Так что не совсем банальность. Вопрос в том, сколько из шести неизвестных можно выбрать свободно, чтобы параметризовать все решения. Кажется вроде, что любые три, но это бы строго доказать.
Треугольник Паскаля-вроде там все строки разной длины?

[svv]

Пусть $c=[a,b]\neq 0$. Направим ось $z$ вдоль вектора $c$, тогда $c_x=c_y=0$. Известно, что $[a,b]\perp a, [a,b]\perp b$, поэтому векторы $a$ и $b$ лежат в $Oxy$, $a_z=b_z=0$. Но оставшиеся компоненты векторов $a$ и $b$ могут быть уже любыми, подчиняясь единственному условию $a_x b_y-a_y b_x=c_z$ (геометрический смысл: параллелограмм, построенный на $a$ и $b$, имеет заданную ориентированную площадь).

[Otta]

svv в сообщении #737899 писал(а):

Пусть $c=[a,b]\neq 0$. Направим ось $z$ вдоль вектора $c$, тогда $c_x=c_y=0$. Известно, что $[a,b]\perp a, [a,b]\perp b$, поэтому векторы $a$ и $b$ лежат в $Oxy$, $a_z=b_z=0$. Но оставшиеся компоненты векторов $a$ и $b$ могут быть уже любыми, подчиняясь единственному условию $a_x b_y-a_y b_x=c_z$ (геометрический смысл: параллелограмм, построенный на $a$ и $b$, имеет заданную ориентированную площадь).

... и любая пара векторов, полученная из $a, b$ поворотом в плоскости, натянутой на эти вектора, будет иметь одно и то же векторное произведение, что ясно из геометрических соображений.

[svv]

Факт!

serval писал(а):

исходные векторы являются строками треугольника Паскаля

А что это значит? В треугольнике Паскаля много строк, в большинстве более трех чисел, а векторное произведение определено для векторов в трехмерном пространстве, так что трактовать строки как перечисление компонент не получится.

[serval]

svv в сообщении #737906 писал(а):

В треугольнике Паскаля много строк, в большинстве более трех чисел, а векторное произведение определено для векторов в трехмерном пространстве

В случае трехмерия просто нужно урезать все строки до трех первых компонент.

[svv]

Так?
$\begin{bmatrix}1&2&1\\1&3&3\\1&4&6\\1&5&10\\...&...&...\end{bmatrix}$

Если так, то $n$-я строка (нумерация начинается с $2$) даёт вектор
$p_n=\left(1, n, \frac {(n-1)n}2\right)$

[serval]

Так.
Вопрос - можно ли восстановить два вектора данного вида по их векторному произведению?

[Otta]

В трехмерном случае, по крайней мере, можно. Для $n=2$. А значит, и больших. Если мы одинаково понимаем векторное произведение $n$ векторов.
Чтобы делать дальше - надо осознать смысл, что это такое, на самом деле, считается.

PS А может, Вы его лучше знаете, этот смысл? Откуда возникла потребность решать эту задачу? какова исходная?