2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Как найти производную
Сообщение17.06.2013, 00:30 
Аватара пользователя
Пусть есть функция, заданная уравнением $x=y+e^y$. Нужно найти $\frac{dy}{dx},\frac{d^2y}{dx^2}$. Мои рассуждения: обратная функция задаётся уравнением $y=x+e^x$, eё производная $1+e^x$, тогда производная исходной будет $\frac{1}{1+e^x}$. Во-первых, верно ли это, и во-вторых, можно ли теперь найти вторую производную, просто взяв производную от $\frac{1}{1+e^x}$?

 
 
 
 Re: Как найти производную
Сообщение17.06.2013, 00:39 
sopor в сообщении #737426 писал(а):
обратная функция задаётся уравнением $y=x+e^x$

Неверно

Прочитайте про производную неявно заданной функции.
В данном случае дифференцируем обе части по x

$\[1 = y' + {e^y}y'\]$

и имеем

$\[y' = \frac{1}{{1 + {e^y}}}\]$

В явном виде через x данная производная через элементарные функции не выражается (можно выразить через W-фукнцию)

$\[y' = \frac{1}{{1 + {\mathop{\rm W}\nolimits} ({e^x})}}\]$

 
 
 
 Re: Как найти производную
Сообщение17.06.2013, 00:40 
Обратная функция видна при просмотре листочка с графиком исходной функции на просвет с другой стороны.... а у вас она такая же как и прямая. Было бы все так просто, не стоило бы и огород городить.

ЗЫ что ж я так медленно набираю то все время :-)

 
 
 
 Re: Как найти производную
Сообщение17.06.2013, 01:00 
Аватара пользователя
Ms-dos4 в сообщении #737427 писал(а):
sopor в сообщении #737426 писал(а):
обратная функция задаётся уравнением $y=x+e^x$

Неверно

Прочитайте про производную неявно заданной функции.
В данном случае дифференцируем обе части по x

$\[1 = y' + {e^y}y'\]$

и имеем

$\[y' = \frac{1}{{1 + {e^y}}}\]$

В явном виде через x данная производная через элементарные функции не выражается (можно выразить через W-фукнцию)

$\[y' = \frac{1}{{1 + {\mathop{\rm W}\nolimits} ({e^x})}}\]$



Спасибо! То есть, производная неявной функции чаще всего тоже неявная функция?

 
 
 
 Re: Как найти производную
Сообщение17.06.2013, 01:03 
sopor
Да. Просто иногда её можно выразить в явном виде, но вообще говоря для произвольной функции такое невозможно.
P.S.В данном случае эту же производную можно найти считая не $\[y(x)\]$ а $\[x(y)\]$
$\[\frac{{dx}}{{dy}} = 1 + {e^y}\]$
Отсюда можно найти то, что я писал сообщением выше. А иногда можно оставить и это выражение (если вам не требуется именно зависимость $\[y(x)\]$)

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group