\pi_1 (GL_n(R))= Z_2

[Semenov S.]

Подскажите, пожалуйста, как доказать, что $\pi_1 (GL_n(\mathbb R))=\mathbb Z_2$ для $n\geq 3$?

[xmaister]

А если посмотреть на универсальное накрытие и посчитать группу Галуа этого накрытия, оно должно легче считать чем в лоб по определнию

-- 12.06.2013, 21:13 --

По крайней мере нас так учили считать фундаментальную группу тора, конкретно с матрицами не проделывал...

[Semenov S.]

Спасибо за ответ! Я такой способ особо не знаю, не могли бы Вы немного подробней объяснить? Или, может, посоветовать, где можно почитать?

[xmaister]

Что-то сейчас не могу найти... Можете сами попробовать погуглить лекции Миши Вербицкого по топологии.

[alcoholist]

Фиксируем вектор $a\in\mathbb{R}^n$ и рассмотрим отображение $p:GL_n\to S^{n-1}$, заданное формулой

$$ p(A)=\frac{A(a)}{\|A(a)\|}. $$

Покажите что это -- расслоение. Из гомотопической последовательности расслоения сразу извлекаем, что $\pi_1(GL_{n+1})\simeq \pi_1(GL_n)$ для всех $n\ge 3$

-- Чт июн 13, 2013 08:36:32 --

осталось увидеть в $GL_3$ гомотопическую эквивалентность с проективным пространством

[Semenov S.]

Спасибо за ответ!! Все проделал, все понятно, кроме того, как доказать, что $GL_3$ гомотопически эквивалентно проективному пространству. Помогите, пожалуйста, доразобраться!

[apriv]

Во-первых, $SL_3$ гомотопически эквивалентно своему деформационному ретракту $SO_3$. Во-вторых, у $SO_3$ есть двулистное накрытие $SU_2$ (кватернионы нормы $1$). В-третьих, $SU_2$ гомеоморфно сфере $S^3$.

[Semenov S.]

apriv

Спасибо! С пунктом два и три разобрался, а с первым что-то не вышло.

[apriv]

Semenov S. в сообщении #737400 писал(а):

Спасибо! С пунктом два и три разобрался, а с первым что-то не вышло.

Это называется «ортогонализация Грама—Шмидта».