Расстояние от точки до подпространства.

[truestyle]

Здравствуйте! Помогите продолжить решение задачки.
В гильбертовом пространстве $l_2$ задан вектор $x = (1,0,0,..., 0, ...)$, а также подпространство $L = \{x \in l_2 | x = (x_1, x_2, ...), \sum_{k=1}^n {x_k} = 0 \}$, при любом фиксированном $n$. Найти расстояние $\rho_n(x, L)$.

Моё решение (в лоб):

$\rho_n(x, L) = \inf_{y\in L} ||x - y|| = \inf_{y\in L} \sqrt{(x-y, x-y)} = \inf_{y\in L} \sqrt{(x,x) - 2(x,y) + (y,y)} = \inf_{y\in L} \sqrt{1 - 2y_1 + \sum_{k=1}^\infty {y_k^2} = }$.

На этом всё, к сожалению. Не пойму как дальше завязать $n$ с последним выражением.

[svv]

Условие $y\in L$ можно компактно записать в виде $(a, y)=0$, где $a$ -- вектор, у которого первые $n$ координат равны $1$, а остальные $0$.

Попробуйте разложить $x$ на составляющую, пропорциональную $a$ (т.е. ортогональную $L$) и составляющую, лежащую в $L$:
$x=\lambda a+b$, где $(a, b)=0$.

Чему равен вектор $b$? Каков его смысл?
Чему равен вектор $\lambda a$? Каков его смысл?

truestyle писал(а):

при любом фиксированном $n$

Лучше "при некотором заданном $n$", а то сбивает с толку.

[truestyle]

svv в сообщении #736707 писал(а):

Чему равен вектор $b$? Каков его смысл?
Чему равен вектор $\lambda a$? Каков его смысл?

$\lambda a = (\lambda, \lambda, ... , 0, 0, ...), b = (1 - \lambda, \lambda, \lambda, ..., 0,0, ...)$, где нулевые элементы начинаются с $n+1$ номера. Получаем, что $b$ - есть проекция $x$ на $L$, а $\lambda a$ - есть перпендикуляр к $L$.
В учебнике Треногина есть теорема: если $\rho (x, L) = ||x - y||$, то $(x-y)$ ортогонально $L$. В нашем случае мы получаем, что $\lambda a$ ортогонально $L$, но будет ли это расстоянием ? И почему ?
P.S. $\lambda = \frac{1}{n}$

[svv]

Правильно Вы написали по поводу смысла. Только всё это мы можем найти совершенно определённо и однозначно.

Найдём скалярное произведение векторов $a$ и $x=\lambda a+b$:
$(a, x)=\lambda (a, a)+(a, b)$
Так как $(a, b)=0$, то $\lambda=\dfrac{(a, x)}{(a, a)}$
Найдите оба скалярных произведения.
И получите конкретные значения $\lambda a$ и $b$.

truestyle писал(а):

P.S. $\lambda = \frac{1}{n}$

Отлично! Дальше!

[truestyle]

А какими рассуждениями вы приходите к тому, что надо найти именно это скалярное произведение ?

svv в сообщении #736829 писал(а):

Найдём скалярное произведение векторов $a$ и $x=\lambda a+b$:
$(a, x)=\lambda (a, a)+(a, b)$

[svv]

Уравнение $x=\lambda a+b$ содержит две неизвестных. Зная, что $(a, b)=0$, я вижу, что это произведение убъёт $b$ и останется только $\lambda$.

Итак, $x$ раскладывается на сумму двух векторов:
$\frac 1 n a$, это проекция $x$ на ортогональное дополнение к $L$.
$b=x-\frac 1 n a$, это ортогональная проекция $x$ на $L$.

truestyle писал(а):

В нашем случае мы получаем, что $\lambda a$ ортогонально $L$, но будет ли это расстоянием?

Да, будет, только не $\lambda a$ (это вектор), а его норма (это число).

Более того, инфимум $||x - y||$ будет достигаться при $y=b$, вот почему я просил Вас найти этот вектор.

А теперь докажите это, пользуясь Вашим методом. Подставив $x=\lambda a+b$ в $(x-y, x-y)$, представьте это в виде суммы чего-то не зависящего от $y$ и квадрата.

-- Пт июн 14, 2013 22:04:30 --

Интуитивно всё должно быть ясно:

Красный вектор $x-y$ должен иметь наименьшую длину, когда синий вектор $y$ является ортогональной проекцией $x$ на $L$, то есть $y=b$. Остается это доказать.

[truestyle]

svv, если я правильно вас понял:
$(x-y, x-y) = (\lambda a + (b-y), \lambda a + (b-y)) = (\lambda a, \lambda a) + 2(\lambda a, b-y) + (b-y, b-y)$
Далее оцениваем это выражение по свойству скалярного произведения, говоря, что последние два слагаемых в сумме дают неотрицательное число, а первое слагаемое есть положительное число зависящее от $n$.
Подобными рассуждениями приходим к тому, что инфинум достигается при $b = y$.
Если моя последовательность действий верна, то извлекая корень из последнего выражения, получаем, что искомое расстояние равно $ \frac {1}{\sqrt n}$

[iifat]

truestyle в сообщении #736846 писал(а):

последние два слагаемых в сумме дают неотрицательное число

Оно-то так, но, как мне кажется, не потому, что вы подумали. Имхо, присмотритесь к среднему слагаемому.

[ewert]

Как-то всё зачем-то слишком длинно. Расстояние до подпространства -- это длина проекции на ортогональное дополнение. В данном случае само подпространство изначально задано как ортогональное дополнение к некоторому одномерному, и остаётся лишь спроецировать вектор на это одномерное, что никаких параметров не требует, а требует лишь выписать сразу ответ.

[truestyle]

ewert в сообщении #736871 писал(а):

В данном случае само подпространство изначально задано как ортогональное дополнение к некоторому одномерному

Тогда бы пришлось возиться с доказательством этого факта.

[Otta]

Но ведь это очевидно.