Number theory problem

[ins-]

Let $n$ is a natural number and $p$ is a prime number. Find all pairs $(n,p)$ such that $n^p+p^5$ is a perfect square.

[General]

Interesting. For $p=2$ we have 2 solutions
$7^2+2^5=9^2$
$2^2+2^5=6^2$

I'll think of other p now.

[scwec]

Могу сказать только, что при $p=3$ решений и рациональных-то нет, поскольку ранг кривой $y^2=x^3+243$ равен нулю (нет рациональных точек бесконечного порядка) и рациональных точек кручения на ней тоже нет.

[temp03]

scwec в сообщении #734596 писал(а):

Могу сказать только, что при $p=3$ решений и рациональных-то нет, поскольку ранг кривой $y^2=x^3+243$ равен нулю (нет рациональных точек бесконечного порядка) и рациональных точек кручения на ней тоже нет.

это не кривая Морделла?

[ins-]

It is a problem created by a friend of mine. If it is too hard I can post a link with a not detailed solution.

[ins-]

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=521434
Here is the sketch of the solution I mentioned. There are small "white spots" but it leads to result.
If someone is interested and like this problem - can write a better and clear solution.
I posted a problem to share it with more people. Long calculations with computer was unable
to find different solutions than (2,2), (7,2).