Разложение в ряд Тейлора и область сходимости, ТФКП

[SDmitry]

День добрый!

Возник вопрос, который, казалось бы, везде освящается. Суть в том, чтобы разложить функцию в ряд Тейлора по степеням $z - z_0$ при $z_0 = 0$ и найти область сходимости. Функция такая:
$\frac{1}{1-z}$
Почитав литературу и интернет, я разложил её таким образом, что общий член получился равен:
$\frac{(z-2)^n}{(-1)^{n+1}}$
В связи с чем и появился вопрос: "прав ли я"? Существует формула, которая позволяет мне записывать общий член ряда в виде $z^n$, но требует ограничения на модуль, который должен быть меньше единицы. У меня этого нигде не сказано и сам ограничивать я по идее не должен. Прав ли я?

Если всё так, то, по признаку Д'Аламбера я должен найти область сходимости. Для этого я должен поделить последующий член на предыдущий, взять модуль и сравнить с единицей. Получилось у меня так:
$|z-2|<1$, где $z$ - комплексное число. Какой тут тогда получается промежуток? В вещественном анализе было бы от единицы до трёх. Тут вроде бы должно быть кольцо от единицы до трёх?

Заранее спасибо!

[Otta]

Вы не правы. По каким степеням разложение, когда $z_0=0$?

[SDmitry]

Ошибся, исправил, разложил как надо, а условие написал не так. z_0 = 2, конечно.

[Otta]

Тогда да. Только эту минус единицу в степени не принято пихать в знаменатель. Перетащите ее наверх. А для радиуса сходимости есть формула, например. Как правило, Даламбером не пользуются, хотя при аккуратном использовании результат он дает верный. И это естественно. Может быть, Вы знаете, почему.

И даже аналитическая запись множества верная. А вот насчет кольца... если Вы не знаете, что это такое, может, имеет смысл в координатах $(x,y)$ посчитать?

[SDmitry]

Неравенство с модулем верно, да?

Формулу для радиуса я не знаю, мы считали по принципу "заметим, что" и по Даламберу. Поэтому мне ничего не понятно.

Если я правильно понял, кольцо тут должно быть такое: беру две оси, вещественную и ортогонально мнимую, и рисую кольцо, радиус меньшей границы будет 1, а большей - 3, вот между ними и то множество, я прав? Так вроде бы решались неравенства с комплексными числами в алгебре. Здесь так можно?

[Otta]

SDmitry в сообщении #732872 писал(а):

Поэтому мне ничего не понятно.

Ну и ладно. Считайте по Даламберу.

SDmitry в сообщении #732872 писал(а):

Если я правильно понял, кольцо тут должно быть такое: беру две оси, вещественную и ортогонально мнимую, и рисую кольцо, радиус меньшей границы будет 1, а большей - 3,

Нет, Вы неправильно поняли.
Нарисуйте для начала множество $|z-1-i|<2$, например. Не знаете, как оно выглядит, пишите все числа в алгебраической форме, считайте модули комплексных чисел, ну и т.д.

(Оффтоп)

Все, я на работу.

[SDmitry]

Там будет окружность с радиусом 1 а центр смещается у меня на 2 вправо. Как параллельный перенос, грубо говоря. Вроде так.

[Ms-dos4]

SDmitry
Раскройте модуль и запишите уравнение этой окружности, возможно так вам будет легче.

[SDmitry]

То есть я последним постом не попал и неверно построил? Странно

[Ms-dos4]

SDmitry
Не попали
Я ещё раз говорю, найдите вы модуль в явном виде (через $\[x,y\]$) и запишите уравнение (точнее в данном случае - неравенство)

[SDmitry]

Получается вот что, если записать z в алгебраической форме:
\sqrt{(x-2)^2 + y^2}<1

То есть обыкновенный круг, если возвести в квадрат обе части. Какие тут еще есть варианты? Не пойму

[Ms-dos4]

SDmitry
Неверно. Распишите как вы это получили.

[Otta]

SDmitry в сообщении #733022 писал(а):

То есть обыкновенный круг, если возвести в квадрат обе части. Какие тут еще есть варианты? Не пойму

Вы какое множество расписываете, исходное? Тогда верно.
Будет очень хорошо, если Вы в общем виде осознаете, что это за множества:
$|z-z_0|<\rho$ и $|z-z_0|>\rho$.

[Ms-dos4]

Otta

Цитата:

Вы какое множество расписываете, исходное? Тогда верно.

(Оффтоп)

Ахах, так он исходное писал... А я думал на ваш вопрос отвечает

[Otta]

Ms-dos4

(Оффтоп)

Я тоже сперва так думала. Но для порядка перечитала весь тред.