Найти коэффициент корреляции X, X+Y

[d-man54]

Найти коэффициент корреляции $r(X,X+Y)$, если X и Y независимы, одинаково распределены и имеют конечный второй момент
правильно ли, что случанйые величины X и X+Y линейно зависимы, тогда коэффициент = 1?
и как доказать их линейную зависимость, привести пример $aX+b=X+Y$ ?

[--mS--]

Вам нужно разобраться, что означает независимость случайных величин. По существу. Случайные величины $X$ и $X+Y$ в условиях задачи могут быть линейно зависимы только в одном случае: когда они имеют вырожденное распределение. Надо полагать, этот случай априори исключён: при нём коэффициент корреляции не существует.

Определение коэффициента корреляции знаете? Вычисляйте по определению.

[d-man54]

знаю, значит ответ неверный, в нём r=1
тогда $r = \frac {cov(X,X+Y)} {\sqrt{DX \cdot D(X+Y)}} = \frac {M(X(X+Y))-MX \cdot M(X+Y)} {\sqrt{DX \cdot D(X+Y)}}$
и как считать $M(X,X+Y)$ ?
правильно ли?
$M(X(X+Y))=\int \int x(x+y)f(x)f(x+y)dxdy$
$f(x+y)=?$ дальше с помощью замены переменных можно прийти к интегралу по новой области, которую не знаю как найти, так как законы распределения не заданы... или я что-то пропустил из теории очевидное?

[ewert]

d-man54 в сообщении #731468 писал(а):

и как считать $M(X,X+Y)$ ?

Раскрыть скобки.

d-man54 в сообщении #731468 писал(а):

$f(x+y)=?$

А откуда она вообще вдруг?

[d-man54]

так, там были ошибки, но получится все равно надо найти плотность совместного распределния для
$M(X(X+Y))=\int \int (x^2+xy)f(x,x+y)dxdy$
$f(x,x+y)=?$ совместная плотность из определния математического ожидания, получить именно её не знаю как, для конкретных рапределений сразу понятно, а тут

[Otta]

d-man54

d-man54 в сообщении #731474 писал(а):

овместная плотность из определния математического ожидания

Нету там ничего подобного. Выучите определение. Это раз.
Два. По условию Вам никто не обещал плотности.

[ewert]

d-man54 в сообщении #731474 писал(а):

$M(X,X+Y)=\int \int (x^2+xy)f(x,x+y)dxdy$

Это неверно -- совместная плотность записывается совсем не так.

Кроме того, там вовсе не обязательно плотности. Ещё более кроме, вообще конкретные распределения не имеют значения. Не важно даже, одинаково они распределены или нет; важна лишь их независимость и совпадение первых двух моментов.

Можете выписать стандартные свойства первых и вторых моментов для независимых величин? Вы обязаны знать их наизусть; ну или хоть погуглите.

[--mS--]

d-man54 в сообщении #731468 писал(а):

и как считать $M(X,X+Y)$ ?

Это что - матожидание вектора? Откройте определение коэффициента корреляции.

[d-man54]

я не понимаю как тут может быть что-то неправильно, кроме неправильно записанного $М(X,X+Y)$
там должно быть просто $М(X(X+Y))$
совместная плотность тут будет не $f(x,y)$ же ?
но пусть можно обойтись без плотностей
в условии сказано, что величины $X$ и $Y$ имеют конечный второй момент, то есть их ковариация определена и конечна, а зачем мне их ковариация, если нужна ковариация $X$ и их суммы?
там будет $М(X,Y)=MXMY$ из-за независимости и $D(X+Y)=DX+DY$ и куда это? получется тут решается по-другому, и формулы, которые написал не нужны?

[ewert]

d-man54 в сообщении #731485 писал(а):

там будет $М(X,Y)=MXMY$ из-за независимости и $D(X+Y)=DX+DY$ и куда это?

А вот туда, в дробь. Не хватает лишь знания ещё двух вещей: линейности матожидания и выражения дисперсии через моменты.

[d-man54]

ясно, тут даже не нужно ни замен, ни плотностей для $X+Y$
получилось $r=\sqrt2$
всем спасибо

[Otta]

--mS-- в сообщении #731463 писал(а):

Случайные величины $X$ и $X+Y$ в условиях задачи могут быть линейно зависимы только в одном случае: когда они имеют вырожденное распределение.

Линейно независимы, Вы хотели сказать?

-- 02.06.2013, 12:39 --

d-man54 в сообщении #731492 писал(а):

ясно, тут даже не нужно ни замен, ни плотностей для $X+Y$
получилось $r=\sqrt2$

Здрасьте.
А свойств коэффициента корреляции Вы совсем не помните? Чего он там не превосходит?

(Оффтоп)

И хоть это и не имеет отношения к задаче, выучите, как надо считать $Mg(X,Y)$ с помощью плотности. Вы не знаете.

[d-man54]

уже пересчитываю, не больше или равно 1 конечно

[Otta]

ewert

(Оффтоп)

ewert в сообщении #731486 писал(а):

Не хватает лишь знания ещё двух вещей: линейности матожидания и выражения дисперсии через моменты.

По большому счету, хватило бы знания одной вещи: билинейности ковариации. Но увы.

[ewert]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #731494 писал(а):

Линейно независимы, Вы хотели сказать?

Зависимы, конечно. Хотя термин "линейная зависимость" тут несколько неудачен в силу некоторой двусмысленности, лучше сказать "линейно связаны: $\alpha X+\beta(X+Y)=\gamma$.

Otta в сообщении #731499 писал(а):

По большому счету, хватило бы знания одной вещи: билинейности ковариации.

Ну на этом редко акцентируют внимание.