Задача на системы непрерывных случайных величин

[bbt]

Вобщем,задача такова:
Плотность вероятности СНСВ $(X,Y)$ имеет вид
$w(x,y) = \frac{1}{{2\pi }}\mathop e\nolimits^{ - \frac{{\mathop x\nolimits^2 + \mathop y\nolimits^2 }}{2}} - \infty < x < + \infty , - \infty < y < + \infty$
плотность такая же,как в конце поста в [] . Здесь почем-то неправильно отображает
Найти
1) $P\left\{ {\left( {x,y} \right) \in D = \left\{ {\left( {x,y} \right)^ - 0.5 \leqslant x \leqslant 0.5, - 1 \leqslant y \leqslant 1} \right\}} \right\}$
2)безусловные плотности вероятности $X$ и $Y$
3) определить,зависимы ли $X$и $Y$

Помогите пожалуйста. Знаю,что можно решить таким образом
$P = \int\limits_{ - 0.5}^{0.5} {dx} \int\limits_{ - 1}^1 {dy} \left[ {\frac{1}{{2\pi }}\mathop e\nolimits^{ - \frac{{\mathop x\nolimits^2 + \mathop y\nolimits^2 }}{2}} } \right]$
но смущает что-то,т.к. обычно в задаче плотность имеет вид попроще. Может можно её как-то упростить?

[ewert]

bbt в сообщении #730817 писал(а):

но смущает что-то,т.к. обычно в задаче плотность имеет вид попроще. Может можно её как-то упростить?

Увы. Но поскольку такая плотность в ТВ стандартна -- вас должны были учить и тому, через какую функцию эти интегралы выражаются, и тому,как находить значения этой функции.

[bbt]

ewert
Может, при независимости $X$ и $Y$, можно выразить $w(x,y)$ как $w(x)\cdot w(y)$.
Вы это имели ввиду? Или можно еще как-то?

[Otta]

А даже и без условия независимости нельзя?

[Deggial]

bbt, замечание за неоформление формул. Следует оформлять все формулы. Кстати, обрамляйте их долларами - получается лучше.

[bbt]

2е
$\begin{gathered} w(x) = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\frac{1}{2\pi }} \mathop e\nolimits^{ - \frac{{\mathop x\nolimits^2 + \mathop y\nolimits^2 }}{2}} dy = \frac{1}{{2\pi }}\mathop e\nolimits^{ - \frac{{\mathop x\nolimits^2 }}{2}} \int\limits_{ - \infty }^\infty {\mathop e\nolimits^{ - \frac{{\mathop y\nolimits^2 }}{2}} } dy = \frac{{\sqrt {2\pi } }}{2\pi }{e^{ - \frac{{\mathop x\nolimits^2 }}{2}}} \hfill \\ w(y) = \frac{{\sqrt {2\pi } }}{2\pi }{e^{ - \frac{{\mathop y\nolimits^2 }}{2}}} \hfill \\ \end{gathered} $
3е
$w(x,y)=w(x)w(y)$ -> независимы
Правильно ли?

[Otta]

bbt в сообщении #730937 писал(а):

$w(x,y)=w(x)w(y)$ -> зависимы
Правильно ли?

А Вы перемножать не пробовали? И сокращайте дроби.

[bbt]

Otta
ну имеется ввиду что они независимы, т.е. я перемножил и проверил-равны. Опечатался,написав "зависимы". Подскажите как 1е делать,пожалуйста

[Otta]

А что тут подсказывать? Считайте Ваш интеграл. Должны уже уметь.

[bbt]

Otta
А вот здесь же уже не инетеграл Эйлера-Пуассона? Как его вычислить,скажите пожалуйста
$\int\limits_{ - 1}^1 {{e^{ - \frac{{\mathop y\nolimits^2 }}{2}}}} dy$

[Otta]

Да не считается он. Такого типа интегралы присутствуют, например, в интегральной теореме Муавра-Лапласа (гляньте, кстати, присутствуют ли?). Как Вы ее применяли? Там же конкретные значения нужны.

[bbt]

Otta
$\int\limits_{ - 0.5}^{0.5} {dx} \int\limits_{ - 1}^1 {dy} \left[ {\frac{1}{{2\pi }}{e^{ - \frac{{\mathop x\nolimits^2 + \mathop y\nolimits^2 }}{2}}}} \right] = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - 0.5}^{0.5} {dx\int\limits_{ - 1}^1 {{e^{ - \frac{{\mathop y\nolimits^2 }}{2}}}} } dy$

[ewert]

bbt в сообщении #730969 писал(а):

Как его вычислить,скажите пожалуйста
$\int\limits_{ - 1}^1 {{e^{ - \frac{{\mathop y\nolimits^2 }}{2}}}} dy$

Никак. Просто посмотреть по табличке из любого задачника по ТВ, или погуглить в Экселе на НОРМРАСПР или типа того.

[Otta]

bbt в сообщении #730983 писал(а):

Otta
$\int\limits_{ - 0.5}^{0.5} {dx} \int\limits_{ - 1}^1 {dy} \left[ {\frac{1}{{2\pi }}{e^{ - \frac{{\mathop x\nolimits^2 + \mathop y\nolimits^2 }}{2}}}} \right] = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - 0.5}^{0.5} {dx\int\limits_{ - 1}^1 {{e^{ - \frac{{\mathop y\nolimits^2 }}{2}}}} } dy$

Куда делась зависимость от $x$ подынтегральной функции?

[bbt]

$\int\limits_{ - 0.5}^{0.5} {dx} \int\limits_{ - 1}^1 {dy} \left[ {\frac{1}{{2\pi }}{e^{ - \frac{{\mathop x\nolimits^2 + \mathop y\nolimits^2 }}{2}}}} \right] = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{ - 0.5}^{0.5} {dx{e^{ - \frac{{\mathop x\nolimits^2 }}{2}}}\int\limits_{ - 1}^1 {{e^{ - \frac{{\mathop y\nolimits^2 }}{2}}}} } dy$