Вероятность события при пересечении ФПВ

[STAR_IK]

Доброго времени суток. Возникла задача по теории вероятности, которую уже достаточно подзабыл. В общем, есть две случайных независимых величины $x_1 \in f$ с функцией плотности вероятности $P_1(f)$ и $x_2 \in f$ с ФПВ $P_2(f)$. Плотности вероятности пересекаются друг с другом, согласно рисунку. Вопрос следующий, как определить вероятность события при котором $\left| {x_1 - x_2} \right| \leqslant dF$, где $dF < f_3 - f_2$. Спасибо

[Otta]

Я не понимаю Ваших обозначений, извините. Давайте я попробую сказать, как я поняла. Есть две случайные величины, плотность первой - левый горб, плотность второй - правый. Нужна вероятность того, что их взаимное отклонение не превышает $d$, меньшего расстояния между точками $f_2$ и $f_3$.

Так? Если так, выпишите плотности обеих случайных величин и ищите $P\{|x_1-x_2|\le d\}$ с помощью свойств плотности совместного распределения, используя независимость.

[STAR_IK]

Вы правильно поняли меня. Извините, но Вы не могли бы подробнее описать процедуру. Дело в том, что плотности вероятности не определены. Я просто пытаюсь вывести формулу, позволяющую оперируя некоторыми пересекающимися ФПВ, получить вероятность вышеописанного события. В случае если $d = f_3 - f_2$ вероятность будет равна $p = \int\limits_{{f_2}}^{{f_3}} {{P_1(f)}} \times \int\limits_{f_2}^{f_3} {P_2(f)}$, но это частный и очень простой случай…

[Otta]

STAR_IK в сообщении #729935 писал(а):

Дело в том, что плотности вероятности не определены.

Ага, а что это параболы, полученные сдвигом друг из друга - это случайное совпадение? То есть они в принципе абы какие? Откуда тогда известно, что они пересекаются?

Уточните несколько постановку задачи. Распределения совсем разные?

(Оффтоп)

Процедура, видимо, без меня состоится, я на работу. :)

[STAR_IK]

То что они выглядят на рисунке как параболы простое совпадение. Да, они абы какие, но по условию они финитные и пересекаются, ибо если нет пересечения ответ очевиден. Хотелось бы выражение именно для общего случая, а не для конкретных ФПВ. Уточнять извините тут даже не знаю что, т. к. постановка задачи сама по себе очень общая.

[ewert]

STAR_IK в сообщении #729935 писал(а):

В случае если $d = f_3 - f_2$ вероятность будет равна $p = \int\limits_{{f_2}}^{{f_3}} {{P_1(f)}} \times \int\limits_{f_2}^{f_3} {P_2(f)}$, но это частный и очень простой случай…

Не будет, и этот случай ненамного проще общего. Там будет сумма нескольких двукратных интегралов с переменными внутренними пределами, причём набор этих интегралов зависит в т.ч. и от соотношения между $f_1,\ f_4$ с одной стороны и $f_2,\ f_3$ с другой.

Нарисуйте на плоскости прямоугольник, внутри которого произведение плотностей отлично от нуля, и наложите на него наклонную полосу, задаваемую Вашим неравенством. Получится, естественно, некоторый многоугольник (максимум шестиугольник). Вот и расставляйте пределы в двойном интеграле по этому многоугольнику. Вариантов расстановки в зависимости от соотношений между численными значениями границ там будет много.

[STAR_IK]

ewert в сообщении #729952 писал(а):

STAR_IK в сообщении #729935 писал(а):

В случае если $d = f_3 - f_2$ вероятность будет равна $p = \int\limits_{{f_2}}^{{f_3}} {{P_1(f)}} \times \int\limits_{f_2}^{f_3} {P_2(f)}$, но это частный и очень простой случай…

Не будет, и этот случай ненамного проще общего. Там будет сумма нескольких двукратных интегралов с переменными внутренними пределами, причём набор этих интегралов зависит в т.ч. и от соотношения между $f_1,\ f_4$ с одной стороны и $f_2,\ f_3$ с другой.

Если честно не понял почему! В данном частном случае, задача сводится к определению вероятности появления двух величин только на одном интервале между точками $f_2$ и $f_3$. Разве тут не обходится простым умножением двух вероятностей?

[ewert]

STAR_IK в сообщении #729954 писал(а):

вероятности появления двух величин только на одном интервале между точками $f_2$ и $f_3$.

Нет. Условие

STAR_IK в сообщении #729915 писал(а):

$\left| {x_1 - x_2} \right| \leqslant dF$

задаёт вовсе не общий интервал для двух величин, но лишь длину этого интервала. Расположен же интервал может быть где угодно.

[STAR_IK]

Так в том то и дело что в частном случае, который описан в третьем посте, длина интервала $dF$, задающего условие, равна длине интервала $(f_2,f_3)$, поэтому возможно только одно положение.
Своими умозаключениями я вообще пришел к следующему выражению, описывающего общий случай.
$p = \int\limits_{f_2}^{f_3 - d} {\left( {\int\limits_{{\text{f }}}^{{\text{f + d}}} {{P_1(x)dx}} \times \int\limits_{{\text{ f}}}^{{\text{f + d}}} {{P_2(x)dx}} } \right)} df$
Прошу критики.

[ewert]

STAR_IK в сообщении #729960 писал(а):

длина интервала $dF$, задающего условие, равна длине интервала $(f_2,f_3)$, поэтому возможно только одно положение.

Ничего подобного. Наложите этот интервал на Вашу картинку в первом посте и посмотрите, может ли он шевелиться вправо-влево. А кто в силах ему это запретить? У нас свободная страна.

STAR_IK в сообщении #729960 писал(а):

$p = \int\limits_{f_2}^{f_3 - d} {\left( {\int\limits_{{\text{f }}}^{{\text{f + d}}} {{P_1(x)dx}} \times \int\limits_{{\text{ f}}}^{{\text{f + d}}} {{P_2(x)dx}} } \right)} df$
Прошу критики.

Это невозможно критиковать, это бессмысленно. Что, собственно, обозначают буковки в пределах?

[STAR_IK]

ewert в сообщении #729961 писал(а):

STAR_IK в сообщении #729960 писал(а):

длина интервала $dF$, задающего условие, равна длине интервала $(f_2,f_3)$, поэтому возможно только одно положение.

Ничего подобного. Наложите этот интервал на Вашу картинку в первом посте и посмотрите, может ли он шевелиться вправо-влево. А кто в силах ему это запретить? У нас свободная страна.

Действительно. Сглупил

ewert в сообщении #729961 писал(а):

STAR_IK в сообщении #729960 писал(а):

$p = \int\limits_{f_2}^{f_3 - d} {\left( {\int\limits_{{\text{f }}}^{{\text{f + d}}} {{P_1(x)dx}} \times \int\limits_{{\text{ f}}}^{{\text{f + d}}} {{P_2(x)dx}} } \right)} df$
Прошу критики.

Это невозможно критиковать, это бессмысленно. Что, собственно, обозначают буковки в пределах?

Какие конкретно вам буковки непонятны?

[Deggial]

STAR_IK, оформляйте все формулы $\TeX$ом. Индексы пишутся так:

$A_{index}$

$A_{index}$. Не забывайте ставить доллары (а тег math почти всегда автоматически ставится сам) Сейчас я формулы поправлю, в случае рецидива утащу тему в Карантин.

[Otta]

STAR_IK
Что-то мне совсем не хочется описывать процедуру (ewert уже это частично сделал) в общем случае.
Пусть у Вас плотность первой случайной величины $X$ имеет носитель $[-1,2]$, второй, $Y$ - $[0,4]$. Ищем вероятность $P\{|X-Y|\le 1\}$. Годится?