Два шпиона в теории вероятностей

[Mihajlo]

Задача. Командиру стало известно, что из ста человек его роты - два шпиона. Ему поступил приказ: срочно отправить на задание 10 человек. Понятно, что если в 10 отправленных на задание войдёт хотя бы один шпион (а тем более 2, что вполне возможно), то задание будет провалено. Времени на обнаружение шпионов у командира нет. И он отправляет на задание наугад выбранных 10 человек из 100.
Вопрос: какова вероятность того, что в десятку войдёт хотя бы один шпион? Или: какова вероятность того, что задание будет провалено?

Решение. Общее число выборок 10 чел. из 100 равно $C_{100}^{10}$. Из этого числа выделим такие десятки, в состав которых входит 1 шпион. Тогда 9 чел. будут хорошими. Всего хороших 98 чел. Тогда число $C_{98}^9$ будет обозначать кол-во десяток с наличием одного шпиона.
Но в десятке может оказаться и 2 шпиона. Тогда 8 будут хорошими. И число $C_{98}^8$ будет обозначать кол-во десяток с наличием двух шпионов. Общее число нехороших десятков станет равным $C_{98}^9+C_{98}^8$. Искомую вероятность получим, если эту сумму разделим на $C_{100}^{10}$. После арифметических операций с удачными сокращениями получим $p=0,1$.
Верно ли это?

P.S. В статье Как набирать формулы? сказано как писать нижние и верхние индексы, а примера, где одновременно присутствуют оба индекса, не нашёл. Пытался отредактировать - не получилось. Отредактировал. / GAA

[svv]

$C^n_m$, код C^n_m

[arseniiv]

Притом если написать $C_m^n$, результат не изменится (вот чудо!). (Это чтобы ТС не подумал случайно, что то какая-то магическая форма набора.)

[Lahme]

Это гипергеометрическое распределение. Задача на извлечение без возвращений, и сложение вероятностей.
Ответ: 0,1909 . Из них 0,1818 - что 1 шпион, 0,0091 - что 2 шпиона.

[iifat]

Mihajlo в сообщении #729258 писал(а):

Тогда число С(9, 98) будет обозначать кол-во десяток с наличием одного шпиона

Не совсем так, по-моему. Это — количество девяток без шпионов. Каждой такой девятке соответствует две десятки с одним шпионом.

[Mihajlo]

Lahme в сообщении #729278 писал(а):

Ответ: 0,1909

Пож-ста, приведите решение.

iifat в сообщении #729296 писал(а):

Это — количество девяток без шпионов. Каждой такой девятке соответствует две десятки с одним шпионом.

Вы согласились, что $C_{98}^9$ - это кол-во хороших девяток. Если каждую из них нагрузить одним шпионом получатся уже нехорошие десятки. А вот как сюда привязать две десятки с одним шпионом - не врубился. И каково тогда будет решение?

[TOTAL]

10 человек, отправленные на задание, одеты в белые футболки, остальные 90 человек одеты в черные футболки. Случайным образом на лбе одного из 100 футболистов нарисуем букву "Ш", это будет шпион. Какова вероятность, что шпионом стал человек в черной футболке? (Правильно, 90/100.) Затем случайным образом на лбе одного из 99 человек нарисуем букву "Ш", это будет второй шпион. Какова вероятность, что он снова в черной футболке? Так найдем вероятность того, что среди людей в белых футболках нет шпиона.

[iifat]

Mihajlo в сообщении #729319 писал(а):

как сюда привязать две десятки с одним шпионом - не врубился

Из каждой хорошей девятки может получиться две десятки со шпионом — одного добавим или другого. Поэтому они должны считаться два раза, вот и всё.

[Otta]

Mihajlo в сообщении #729319 писал(а):

Вы согласились, что С(9, 98) - это кол-во хороших девяток. Если каждую из них нагрузить одним шпионом получатся уже нехорошие десятки. А вот как сюда привязать две десятки с одним шпионом - не врубился. И каково тогда будет решение?

iifat уже написал, я еще раз напишу, другими словами. Десятки комплектуются не только хорошими, а еще и плохими. Поэтому набрав на 9 мест кандидатов из 98 хороших $C_{98}^9$ способами, нужно не менее хладнокровно набрать на одно оставшееся место кандидатов из двух негодяев. Сколькими способами? Правильно.

Удобнее было бы решать через вероятность противоположного события.

-- 28.05.2013, 12:50 --

TOTAL
Вы решаете другую задачу. У нас есть два шпиона, мы пытаемся не надеть на них белые футболки.
У Вас есть люди в белых футболках, Вы хотите не завербовать среди них шпионов.
То, что у нас случайное событие - у Вас детерминированное, и наоборот.

[TOTAL]

Otta в сообщении #729388 писал(а):

TOTAL
Вы решаете другую задачу. У нас есть два шпиона, мы пытаемся не надеть на них белые футболки.
У Вас есть люди в белых футболках, Вы хотите не завербовать среди них шпионов.
То, что у нас случайное событие - у Вас детерминированное, и наоборот.

Я решаю ту же задачу способом, который сразу дает ответ $1-\frac{90}{100} \cdot \frac{89}{99}$.

[Otta]

TOTAL
Десять человек надо выбрать, десять. А не двоих. Можно использовать Ваш способ, но выбирать надо не двух претендентов на шпионов, а 10 претендентов в команду. Получится нечто аналогичное, единица минус произведение десяти дробей.

[TOTAL]

Otta в сообщении #729412 писал(а):

TOTALДесять человек надо выбрать, десять. А не двоих.

Надо найти вероятность того, что среди случайных десяти человек есть хотя бы один шпион. Я и нашел эту вероятность.

[Otta]

TOTAL в сообщении #729414 писал(а):

среди случайных

[TOTAL]

Otta в сообщении #729416 писал(а):

TOTAL в сообщении #729414 писал(а):

среди случайных

У Вас есть свое решение с ответом?

[Otta]

TOTAL
Уговорил.

(Оффтоп)

Я ж их не решаю до конца, давно уж, вот и попалась.
Надоть переварить, как-то не хочет сознание мириться с тем что выбор одних из других и выбор других из одних это суть одно и то же. Внезапно.