Интегральное уравнение

[asadovin]

Доброго времени суток!

Дано следующее уравнение: $Af(x) = g(x) = \int_{a}^{b} K(x, y)f(y)dy + \alpha f(x)$, где $a, b, \alpha \in \mathbb{R}$.

При каких $K(x, y)$ и $ \alpha $ выполняется условие: $Af = g \Leftrightarrow Ag = f$ ?

С интегральными уравнениями мало опыта, поэтому хотелось бы получить рекомендации по тому, в каком направлении решать эту задачу, как именно найти $K(x, y)$ и $\alpha$, какие, возможно, теоремы, примеры или прочее для этого использовать.

Заранее спасибо за помощь!

[sup]

А Вы представьте, что тут не интеграл, а матрица. Что получится?

[asadovin]

sup в сообщении #727371 писал(а):

А Вы представьте, что тут не интеграл, а матрица. Что получится?

Искал информацию, пока на ум приходит лишь то, что, если ядро $K(x, y)$ - вырожденное, его можно представить в виде суммы произведений коэффициентов, которые напоминают матрицы.

Вопросы следующие:

1) как возможно доказать, что ядро вырожденное? (или задача нахождения $K(x, y)$ и $ \alpha $ сводится в этом случае к предположению, что ядро вырождено?)

2) каким образом $\alpha$ в этом случае связано с матрицами?

[sup]

Хорошо, зайдем с другой стороны. Пусть $M$ - матрица. Оператор $A$ таков:
$Ax = Mx +\alpha x$
При каких условиях $Ax = y \Leftrightarrow Ay =x$?

-- Чт май 23, 2013 12:04:24 --

Просто интегральные оператры "похожи" на матрицы, поэтому неплохо бы сначала разбораться с матрицами.

[asadovin]

sup в сообщении #727383 писал(а):

Хорошо, зайдем с другой стороны. Пусть $M$ - матрица. Оператор $A$ таков:
$Ax = Mx +\alpha x$
При каких условиях $Ax = y \Leftrightarrow Ay =x$?

-- Чт май 23, 2013 12:04:24 --

$Mx + \alpha x = y \Leftrightarrow My + \alpha y = x \Rightarrow M(x - y) + \alpha (x - y) = y - x \Rightarrow M + \alpha = -1$

Правильно ли рассуждаю?
Если да, то дальше нет идей по поводу нахождения $M$ и $\alpha$

[sup]

Что уж Вы так беспомощно ...
Если поверить Вашим выкладкам, то получим $A = - E$, где $E$ - единичная матрица. А чем $A = E$ провинился? Это же простая лин. алгебра. Сделаем все еще проще.
Пусть $A$ - квадратная матрица. Что Вы можете сказать про эту матрицу $A$, если $Ax = y \Leftrightarrow Ay=x$ для любых векторов $x,y$? Ну не все же матрицы удовлетворяют такому свойству.
Предположим, нам удалось как-то охарактеризовать все такие матрицы. Потом мы попробуем перенести эти соображения на случай интегрального оператора $A = \alpha I + K$.
К слову, а что известно про ядро этого оператора? И в каком пространстве он действует?