Определенный интеграл.

[Shtorm]

provincialka в сообщении #726643 писал(а):

После замены $t=\tg x$ четвертинка интеграла примет вид $\int_0^{+\infty}\frac{t^2dt}{(1+t^2)^2}$.

А у меня получилось $\int_0^{+\infty}\frac{t^2dt}{(1+2t^2)^2}$

[provincialka]

Да, я ошиблась. Жаль, мои любимые эйлеровы интегралы не пригодились

[Shtorm]

provincialka в сообщении #726667 писал(а):

Четвертый тип простейшей дроби -вещь неприятная

В данном случае, всего навсего со 2-ой степенью скобки в знаменателе и с $t^2$ в числителе, вычисление интеграла от такой дроби умещается в одну-две строчки.

-- Вт май 21, 2013 18:28:57 --

fsh2013 в сообщении #726635 писал(а):

$(1/(4\sqrt{2})) \arctg (\sqrt{2} \tg x) + \sin 2x / (4(\cos 2x-3))$

Отрезок [0, 2pi].

fsh2013 в сообщении #726537 писал(а):

Разбил отрезок интегрирования [0, 2pi] на 4*[0, pi/3]+2*[2pi/3, pi]. Так или иначе появляется $\arctg(\sqrt{6})$ . Не подскажете как его можно выразить. Спасибо.

Не нужно брать отрезок $[0;\frac{\pi}{3}]$. Берите отрезок $[0;\frac{\pi}{2}]$, переходите к пределам $\lim f(x)$ и полученное значение умножайте на $4$.

[ewert]

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #726694 писал(а):

Жаль, мои любимые эйлеровы интегралы не пригодились

Ну а допустим пригодились бы. И как их значения находить?... Единственный способ: сделать подстановку взад и далее по-сермяжному.

[provincialka]

ewert в сообщении #726843 писал(а):

(Оффтоп)

provincialka в сообщении #726694 писал(а):

Жаль, мои любимые эйлеровы интегралы не пригодились

Ну а допустим пригодились бы. И как их значения находить?... Единственный способ: сделать подстановку взад и далее по-сермяжному.

Вот тут вообще не поняла. Еслибы не было пропущенной мною двойки, после замены все свелось бы к $B(3/2,1/2)$, что легко находится.

[fsh2013]

Shtorm в сообщении #726718 писал(а):

Не нужно брать отрезок $[0;\frac{\pi}{3}]$...

$\pi 2^{-3/2}$ ?

[Otta]

provincialka в сообщении #726883 писал(а):

Вот тут вообще не поняла. Еслибы не было пропущенной мною двойки, после замены все свелось бы к $B(3/2,1/2)$, что легко находится.

А двойка чем помешала? Необходимостью делать линейную замену?
Хотя я согласна с ewert, тут использование эйлеровых интегралов, это из пушек по комарам. Интеграл практически устный.

-- 22.05.2013, 10:16 --

fsh2013 в сообщении #726927 писал(а):

$\pi 2^{-3/2}$ ?

Это один интеграл? Вроде вчетверо меньше.

[Shtorm]

fsh2013 в сообщении #726927 писал(а):

$\pi 2^{-3/2}$ ?

Окончательный ответ в исходном интеграле - да такой. Только покрасивей преобразуйте.

[fsh2013]

Otta в сообщении #726940 писал(а):

...Интеграл практически устный.

В основном занимался чисто комп. моделир-ем, видимо сильно отстал в теорет. аппарате . Но, терпеливо помогали, хорошо что есть форум и форумчане .

fsh2013 в сообщении #726927 писал(а):

$\pi 2^{-3/2}$ ?
Это один интеграл? Вроде вчетверо меньше.

Если сравнить по графике, вроде подходит...

[Otta]

fsh2013 в сообщении #726951 писал(а):

В основном занимался чисто комп. моделир-ем, видимо сильно отстал в теорет. аппарате . Но, терпеливо помогали, хорошо что есть форум и форумчане .

Что Вы оправдываетесь, Вас никто не ругает. Это замечание касалось интеграла.

fsh2013 в сообщении #726951 писал(а):

Если сравнить по графике,

Это как?

-- 22.05.2013, 10:54 --

Shtorm в сообщении #726950 писал(а):

Окончательный ответ

Вот, окончательный - да. Мож, я не поняла, о чем речь.

[fsh2013]

(Оффтоп)

Otta в сообщении #726952 писал(а):

Это как?

Ну..., чисто визуально, численно, площадь той самой кажется равна тому самому, окончательному.

[Otta]

(Оффтоп)

:))) Эдак одним глазом посмотрел - и никакие интегралы не нужны. О! сила взгляда.
Правда, отсюда

fsh201$3 в сообщении #726956 писал(а):

площадь той самой кажется равна тому самому, окончательному.

следует, что площадь нулевая, но это мелочи.

[fsh2013]

(Оффтоп)

fsh201$3 в сообщении #726961 писал(а):

следует, что площадь нулевая...

а подробнее, пожалуйста

[Otta]

(Оффтоп)

Кхм. Ну, этта... (если Вы об этом) когда промежуточная, маленькая площадь $S$, по каким-то причинам (визуальным например), кажется равной, окончательной, большой $4S$, то какбэ отсюда $S=0$. Но возможно, я Вас не поняла, как и не понимаю, как значение площади криволинейной трапеции в нашем случае можно прикинуть визуально.

[Shtorm]

Otta в сообщении #726972 писал(а):

не понимаю, как значение площади криволинейной трапеции в нашем случае можно прикинуть визуально.

Почти во всех современных мощных математических пакетах есть возможность нанести квадратную (прямоугольную) сетку на график с любым шагом. Остаётся только приблизительно посчитать число этих клеточек. Ответ неточный - это понятно, но такой визуальный метод позволяет отбрость неверный ответ при интегрировании, если он превышает в два раза и более искомую площадь.