Матрица шестого порядка

[2GASHICHECK2]

Дана матрица шестого порядка, для которой нужно построить :
- канонический базис и каноническую форму Жордана.

Собственно матрица :

$$ \begin{pmatrix} 3 & -11 & 2 & 1 & 6 & -15 \\ 5 & -8 & 3 & -5 & 0 & 0\\ 6 & -9 & 3 & -6 & 0 & 0\\ 0 & -6 & 0 & 4 & 6 & -15\\ 5 & -11 & 3 & -4 & 3 & -5\\ 0 & -2 & 0 & 1 & 2 & -4\\ \end{pmatrix} ​$$​


Знаю, что нужно найти характеристический многочлен, но ума не приложу, как в матрице 6х6 можно это сделать? И что делать после того как его найду?

[ewert]

2GASHICHECK2 в сообщении #726173 писал(а):

ума не приложу, как в матрице 6х6 можно это сделать?

Вручную -- практически никак. Хотя теоретически можно, поскольку собственные числа там $(0,1,1,1,-1,-1).$

[Ms-dos4]

(Оффтоп)

Собственно для этого компьютеры и нужны , иначе времени уйдёт... хотя возможно тут и есть какие то преобразования облегчающие вычисление, но это всё несерьёзно. Собственные числа уже приведены, на всякий случай напишу хар. многочлен $\[{\lambda ^6} - {\lambda ^5} - 2{\lambda ^4} + 2{\lambda ^3} + {\lambda ^2} - \lambda = 0\]$

[2GASHICHECK2]

Ms-dos4 в сообщении #726182 писал(а):

(Оффтоп)

Собственно для этого компьютеры и нужны :-), иначе времени уйдёт... хотя возможно тут и есть какие то преобразования облегчающие вычисление, но это всё несерьёзно. Собственные числа уже приведены, на всякий случай напишу хар. многочлен $\[{\lambda ^6} - {\lambda ^5} - 2{\lambda ^4} + 2{\lambda ^3} + {\lambda ^2} - \lambda = 0\]$

так так так :) Вот тут по подрбнее можно?))

-- 20.05.2013, 20:56 --

ewert в сообщении #726179 писал(а):

2GASHICHECK2 в сообщении #726173 писал(а):

ума не приложу, как в матрице 6х6 можно это сделать?

Вручную -- практически никак. Хотя теоретически можно, поскольку собственные числа там $(0,1,1,1,-1,-1).$

Ну теперь я знаю собственные числа, что дальше делать :) Как решать, не доходит не как)

[wronskian]

Находите для каждого собственного числа собственный вектор, соответствующий ему. А для начала вспомните, что такое собственный вектор? Линейно зависимы ли они (у разных собственных значений)? Что из этого следует?

[2GASHICHECK2]

wronskian в сообщении #726343 писал(а):

Находите для каждого собственного числа собственный вектор, соответствующий ему. А для начала вспомните, что такое собственный вектор? Линейно зависимы ли они (у разных собственных значений)? Что из этого следует?

Собственный вектор из полной матрицы, имею ввиду оригинальной, которая 6х6? Что из этого следует :)?

[wronskian]

2GASHICHECK2
Да, собственные вектора для исходной матрицы. Вот я и хочу, чтобы Вы сами сказали, что из этого следует? Что они там образовывать могут? В случае кратности 1 собственных значений.

Так как Вам уже выписали собственные значения, Вы можете сразу написать готовую жорданову форму этой матрицы. А уже потом получить матрицу перехода к ней, но для этого надо всё-таки разобраться с собственными векторами до конца

[2GASHICHECK2]

wronskian в сообщении #726359 писал(а):

2GASHICHECK2
Да, собственные вектора для исходной матрицы. Вот я и хочу, чтобы Вы сами сказали, что из этого следует? Что они там образовывать могут? В случае кратности 1 собственных значений.

Так как Вам уже выписали собственные значения, Вы можете сразу написать готовую жорданову форму этой матрицы. А уже потом получить матрицу перехода к ней, но для этого надо всё-таки разобраться с собственными векторами до конца

Хорошо разберусь, а хотябы помогите составить матрицу, чтобы я нашел собственные числа для матрицы...

[wronskian]

ewert писал(а):

поскольку собственные числа там $(0,1,1,1,-1,-1).$

Вот же они. Вопрос на засыпку: "Что такое жорданова нормальная форма матрицы?"

[2GASHICHECK2]

wronskian в сообщении #726366 писал(а):

ewert писал(а):

поскольку собственные числа там $(0,1,1,1,-1,-1).$

Вот же они. Вопрос на засыпку: "Что такое жорданова нормальная форма матрицы?"

Матрица, в которой, в жардановых клетках (диагональ) вписывается собственное значение матрицы :) Вроде так) Ну я имею представление, об этом)

[wronskian]

2GASHICHECK2
А выше диагонали что находится? Вот составьте готовую жорданову матрицу из этих клеток для начала

[2GASHICHECK2]

wronskian в сообщении #726382 писал(а):

2GASHICHECK2
А выше диагонали что находится? Вот составьте готовую жорданову матрицу из этих клеток для начала

выше диагонали находятся единицы и нули, но я все же не понимаю как её составить...

[wronskian]

2GASHICHECK2
исходите из определения жордановой формы/клетки, почитайте учебник, например, Курош - курс высшей алгебры. В них должно это быть.

ЗЫ. добавил, таки, ЖНФ. Как её получить теперь думайте, исходя из собственных/присоединенных векторов.

$$ \begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end {pmatrix} $$

[ewert]

wronskian в сообщении #726359 писал(а):

Так как Вам уже выписали собственные значения, Вы можете сразу написать готовую жорданову форму этой матрицы.

Сразу -- нет, не выйдет. В частности, вот это:

wronskian в сообщении #726391 писал(а):

$$ \begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end {pmatrix} $$

-- как-то не совсем.

[Otta]

wronskian в сообщении #726359 писал(а):

Так как Вам уже выписали собственные значения, Вы можете сразу написать готовую жорданову форму этой матрицы. А уже потом получить матрицу перехода к ней, но для этого надо всё-таки разобраться с собственными векторами до конца

Нет. Жорданова форма пишется только после нахождения собственных векторов, в случае, когда имеются кратные собственные значения. Пока нет никакой гарантии, что она именно такая, как Вы написали.