Марковский процесс

[MettPoiss]

Здравствуйте, помогите, пожалуйста, разобраться. Дана такая задача: пусть марковский процесс $X_t, t\geq 0$ со значениями на $U \subset \mathbb{R}$. Пусть $Y_t = [X_t]$, где $[.]$- целая часть, и спрашивается, можно ли утверждать, что $Y_t$ марковский процесс. Я думаю так: нам нужно $P(Y_t=k|Y_{s_0} = k_0,...,Y_{s_n}=k_n,Y_s=k_s) = P(Y_t=k|Y_s=k_s)$, где $s_0\leq s_1\leq s_2...\leq s_n \leq s \leq t$ (правильно?нам именно это нужно?). Подставляю в правую сторону
$Y_t = [X_t]$, и получаю

$P([X_t]=k|[X_{s_0}] = k_0,...,[X_{s_n}] =k_n,[X_{s}] =k_s) = P(k \leq X_t< k+1|k_0 \leq X_{s_0}< k_0+1,...,k_n \leq X_{s_n}< k_n+1,k_s \leq X_s< k_s+1)$.

Так как $X_t$ марковский, последнее можно равно $P(k \leq X_t< k+1|k_s \leq X_s< k_s+1)$. Меня беспокоит последний переход,вообще верно ли, или что-нибудь надо сказать(или еще преобразовывать)?

[--mS--]

Последний переход вообще неверен. Вообразите себе дискретные состояния, несколько возможных значений внутри каждого единичного интервала, и распишите условные вероятности по определению: никак Вы не избавитесь от сумм в знаменателе.

Стоит попробовать привести пример. Что-нибудь попроще, однородную цепь Маркова, например, процесс суммирования независимых и одинаково распределённых величин. Возьмите слагаемые с двумя-тремя значениями и посчитайте напрямую вероятности в марковском свойстве.

[_hum_]

--mS--, а напрямую нельзя плясать от того, что $g(x) = [x]$ - борелевская, а потому порождаемая с.в. $g[X_t]$ алгебра будет подалгеброй алгебры, порождаемой исходной с.в $X_t$?

[--mS--]

И чем это поможет?

[_hum_]

Ну как-нибудь так (не ручаюсь за правильность, поскольку с у.м.о не слишком "дружу"):
применим к правой и левой части равенства, выражающего марковское свойство,

$$\mathbf{P}(B|\mathcal{F}_X^t) = \mathbf{P}(B|\mathcal{F}_{X_s}),\quad s < t,$$

оператор условного математического ожидания относительно сигма алгебры $\mathcal{F}_Y^t$ процесса $Y$, получим,

$$\mathbf{E}_{\mathcal{F}_Y^t}\mathbf{P}(B|\mathcal{F}_X^t) = \mathbf{E}_{\mathcal{F}_Y^t}\mathbf{P}(B|\mathcal{F}_{X_s}),\quad s < t.$$

Тогда, поскольку $\mathbf{P}(B|\mathcal{F}) = \mathbf{E}_{\mathcal{F}}I_B$, и $\mathcal{F}_Y^t$ является подалгеброй $\mathcal{F}_X^t$, по свойству условного математического матожидания получаем, что левая часть попросту равна $\mathbf{P}(B|\mathcal{F}_Y^t) $. А справа соображения такие - операция условного матожидания усредняет функцию на "атомах" алгебры. Но функция $\mathbf{P}(B|\mathcal{F}_{X_s}) $ постоянна на всех "атомах" алгебры $\mathcal{F}_{X_s}$, потому усреднение по "атомам" $\mathcal{F}_Y^t$ с учетом того, что эти "атомы" образованы "атомами" алгебры $\mathcal{F}_X^t$, все равно, что усреднение по элементам $\mathcal{F}_{Y_s}$. Ну и опять, по свойству у.м.о., это дает $\mathbf{P}(B|\mathcal{F}_{Y_s}).$

[--mS--]

Не понимаю, простите: Вы выше доказываете, что процесс $[X_t]$ - марковский?

[_hum_]

Вообще, да.
А что это (исходное) утверждение неверно?

Если так, то, интересно, в чем же в таком случае кроется суть, ведь интуитивно кажется, что если в исходном процессе нет зависимости будущего от прошлого, то и функциональное преобразование его с.в. не может внести эту зависимость.
(Хотя, наверное, понимаю - функциональное преобразование может приводить к утрате информации о настоящем, а без нее нельзя будет полностью воспроизвести распределение будущего).

[--mS--]

См. второе сообщение темы.

[_hum_]

--mS-- в сообщении #726156 писал(а):

Стоит попробовать привести пример. Что-нибудь попроще, однородную цепь Маркова, например, процесс суммирования независимых и одинаково распределённых величин. Возьмите слагаемые с двумя-тремя значениями и посчитайте напрямую вероятности в марковском свойстве.

А может, проще (чтобы суть происходящего была видна), например, взять марковскую цепь $\{X_k\}_{k \geq 1}$, $\mathbb{S} = \{s^1, s^2, s^3\}$ с детерминированными переходами $s^1 \rightarrow s^2 \rightarrow s^3 \rightarrow s^1$ и распределением вероятностей начального состояния $\pi(s^1) = \pi(s^2) = 0.5.$ Тогда если в пространстве состояний $\mathbb{Q} $ нового процесса $\{Y_k\}_{k \geq 1} = \{f(X_k)\}_{k \geq 1}$ "схлопнуть" с помощью функционального преобразования $f:\mathbb{S} \rightarrow \mathbb{Q}$ два состояния $s^1$ и $s^2$ в одно состояние $q^1$, оставив однозначное соответствие $f(s^3) = q^2$, то тогда

$\mathbf{P}(Y_3 = q^2 | Y_2 = q^1) = 0.5,$
$\mathbf{P}(Y_3 = q^2 | Y_2 = q^1, Y_1 = q^1) = 1.$

[--mS--]

Конечно, так проще. Только кажется мне, чтобы научиться приводить простые примеры, бесполезно изучать чужие простые примеры. Нужно начинать со своих, заведомо непростых. Нужно их много в руках подержать. А Вы опять пережевали и в рот ТС кладёте.

[_hum_]

Ну, я сам в этой теме в роли обучающегося, а потому этот пример можно рассматривать как мой вариант выполнения предложенного упражнения. Причем с акцентом на моем понимании сути явления "порчи" марковости из-за функционального преобразования. Я ее верно уловил? Все дело в потере полной информации о настоящем состоянии процесса?

[--mS--]

Конечно.