2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Теорема Виета для полиномов
Сообщение19.05.2013, 11:56 
Нужно выяснить с помощью теоремы Виета, при каком значении a полином $\[{x^5} - a{x^2} - ax + 1\]$ имеет корень -1 не ниже второй кратности.
Знаю как решить, например, с помощью производной, но понятия не имею - как с помощью Теоремы Виета

 
 
 
 Re: Теорема Виета для полиномов
Сообщение19.05.2013, 12:09 
Вообще-то задачка действительно выглядит странно, но можно, скажем, так. Обозначить корни через $p,q,r,-1,-1$. Выразить через них по Виету коэффициенты при 4-й, 3-й и 0-й степенях и приравнять их, соответственно, к 0, 0 и 1 -- левые части будут комбинациями из суммы, произведения и суммы парных произведений от $p,q,r$. Но и коэффициент при 1-й степени тоже будет комбинацией того же самого, откуда и находим $a$. После чего остаётся лишь проверить, что это $a$ действительно подходит.

Хотя это и глупо.

 
 
 
 Re: Теорема Виета для полиномов
Сообщение19.05.2013, 12:18 
Я сомневаюсь на счет -1, т.к. она там странно написана и возможно я чего-то не понял. по этому прикреплю фото задания
Изображение. Мое задание 21-е. в 23-м,кстати, единица тоже странно написана. Может быть это не единица :shock:

 
 
 
 Re: Теорема Виета для полиномов
Сообщение19.05.2013, 12:32 
Аватара пользователя
А вы уверены, что по Виету? Где это написано? Числа $-1$ и $1$ написаны четко. Ведь именно $-1$ является корнем вашего уравнения при любом $a$

 
 
 
 Re: Теорема Виета для полиномов
Сообщение19.05.2013, 12:35 
да, задание звучит так: "Пользуясь теоремой Виета, решить следующие задачи." Просто именно здесь 1 и -1 курсивом написаны, вот меня это и насторожило:)

-- 19.05.2013, 11:57 --

ewert, сделал так, как Вы сказали - вот, что вышло
$\[\begin{gathered}
  \left\{ \begin{gathered}
  pqr = 1 \hfill \\
   - pqr + 2pq + 2qr + r = 0 \hfill \\
   - 2pqr + qr = 0 \hfill \\ 
\end{gathered}  \right\} \hfill \\
  p = \frac{1}{2};r =  \pm 2;q =  \pm 1;p,q,r \ne 0 \hfill \\ 
\end{gathered} \]$
Как от сюда а находить?

 
 
 
 Re: Теорема Виета для полиномов
Сообщение19.05.2013, 13:27 
Rostislav1 в сообщении #725656 писал(а):
Знаю как решить...

Ну и всё! Пишите так: поскольку теорема Виета верна, то ... и пишите Ваше решение.
Ведь это она, родная, вдохновила Вас найти решение! Кто бы сомневался. :mrgreen:
Каков вопрос - таков ответ. :wink:

 
 
 
 Re: Теорема Виета для полиномов
Сообщение19.05.2013, 13:31 
Что-то я не особо понял - Раз теорема Виета верна, значит можно "а" с помощью производных найти? Но в задании же нужно с помощью теоремы Виета найти "а"...

 
 
 
 Re: Теорема Виета для полиномов
Сообщение19.05.2013, 13:36 
Rostislav1 в сообщении #725686 писал(а):
Что-то я не особо понял - Раз теорема Виета верна, значит можно "а" с помощью производных найти?

Так Вы же задачу решили! Значит, утверждение истинно и задание выполнено!
Видимо, автор поленился придумать задачу на какую-то свою идею и пошёл по пути наименьшего сопротивления и взял для этого примитивную. Так пусть получит! :lol:
Кстати, можно и без производных. :wink:

 
 
 
 Re: Теорема Виета для полиномов
Сообщение19.05.2013, 13:45 
Rostislav1 в сообщении #725666 писал(а):
Как от сюда а находить?
Ну, раз вы знаете все пять корней многочлена (ну да, несколько наборов по пять), вас не затруднит выписать соответствующие многочлены, посмотреть, подпадает ли их вид под нужный вам и выяснить $a$

-- 19.05.2013, 21:47 --

Либо расписать две формулы для $a$ по той же теореме Виета, подставить корни и, в случае совпадения результатов, вот оно, решение.

 
 
 
 Re: Теорема Виета для полиномов
Сообщение19.05.2013, 13:51 
Но мне же нужно найти а только для корня x = -1?

 
 
 
 Re: Теорема Виета для полиномов
Сообщение19.05.2013, 13:52 
iifat в сообщении #725691 писал(а):
Ну, раз вы знаете все пять корней многочлена...

Не знает он... :wink:

 
 
 
 Re: Теорема Виета для полиномов
Сообщение19.05.2013, 13:54 
Rostislav1 в сообщении #725666 писал(а):
вот, что вышло
$\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} pqr = 1 \hfill \\ - pqr + 2pq + 2qr + r = 0 \hfill \\ - 2pqr + qr = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right\} \hfill \\ p = \frac{1}{2};r = \pm 2;q = \pm 1;p,q,r \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \]$

Этого не может быть потому, что этого не может быть никогда: выражения не симметричны относительно перестановок $p,q,r$.

 
 
 
 Re: Теорема Виета для полиномов
Сообщение19.05.2013, 14:06 
Цитата:
выражения не симметричны относительно перестановок
Страшные для меня вещи вы говорите :). т.е. я p,q,r не верно нашел? или вся система не верна?

 
 
 
 Re: Теорема Виета для полиномов
Сообщение19.05.2013, 14:25 
Rostislav1 в сообщении #725702 писал(а):
т.е. я p,q,r не верно нашел? или вся система не верна?

И то, и другое, и даже третье. Система неверна, и корни найдены неверно. И, что самое главное, их и невозможно найти однозначно, и не нужно, а нужно найти лишь их комбинации $p+q+r$, $pq+qr+pr$ и $pqr$ -- именно через эти комбинации выражается коэффициент при 1-й степени. Но для этого, конечно, надо сначала правильно составить систему.

 
 
 
 Re: Теорема Виета для полиномов
Сообщение19.05.2013, 14:36 
Аватара пользователя
Степень многочлена нечетная, поэтому произведение корней равно свободному члену с минусом. Второй коэффициент (при $x^4$) связан с суммой корней, а следующий - с суммой попарных произведений.

 
 
 [ Сообщений: 39 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group