Интегрирование неравенства

[TR63]

Otta в сообщении #724712 писал(а):

Отрезок можно заменить любым множеством конечной ненулевой меры.

Otta,
я писала, что для конкретного отрезка мне всё понятно. Спрашивала для ЛЮБОГО конечного отрезка.
Собственно, почему возник вопрос. В геометрии, например, в постулате Лежандра ниоткуда не следует, что ЛЮБОЙ конкретный перпендикуляр к одной стороне острого угла пересекает другую сторону (практикой невозможно подтвердить).
Правильно ли я поняла, что Вы даёте положительный ответ (желательно уточнить его формулировку) на мой вопрос, потому что он не относится к геометрии. Т.е., не в геометрии, результаты, которые НИКОГДА нельзя подтвердить практикой (в бесконечном случае), считаются верными, если они строго монотонно верны для КОНКРЕТНЫХ измерений.

[ewert]

Otta в сообщении #724712 писал(а):

Если на промежутке $[a,b] \; f(x)\le g(x)$, то $\int_a^b f(x) dx \le \int_a^b g(x) dx$.

Справа -- в определённом смысле строго.

[provincialka]

TR63 в сообщении #724969 писал(а):

В геометрии, например, в постулате Лежандра ниоткуда не следует, что ЛЮБОЙ конкретный перпендикуляр к одной стороне острого угла пересекает другую сторону (практикой невозможно подтвердить).

Так вы говорите о практике? Или о математике?

[TR63]

Там, вроде, подразумевается и практика, и математика (мне главное- получить однозначный ответ на мой вопрос, чтобы у меня не было сомнений по данному поводу). Читаю сообщения в соседних темах (там есть похожие вопросы). Сомнения понемногу рассеиваются. Я так поняла, что в не геометрии нет подтверждения только практикой. Остаётся только верить математикам (однозначного ответа нет; или есть?)

[provincialka]

Если вы решаете математическую задачу - при чем тут практика? Первообразная - понятие умозрительное. А уж насколько верно ваше решение будет отражать реальность - зависит больше от постановки задачи, от адекватности модели. Это вопрос гораздо более сложный (и, в общем-то, неразрешимый).

[TR63]

provincialka,
спасибо за конкретный ответ. (Я так и предполагала, что вопрос неразрешим однозначным образом.)

provincialka в сообщении #725100 писал(а):

Если вы решаете математическую задачу - при чем тут практика?

Имеется две задачи.
1). Вычисление первого замечательного предела.
Там знак "меньше"на бесконечности переходит в знак "эквивалентно" ("равно"?) Математически это доказанно; практически проверить нельзя, да и не понадобится.
2). В теореме Гурвица (Постников стр. 26) качество, там рассматриваемое, на бесконечность переходит не изменившись (качество по условию заданно только в промежутке меньшем бесконечности.) Непонятно, почему разный подход при перенесении качества на бесконечность.
Я не собиралась в этой теме разбираться с теоремой Гурвица (многое подзабыла); просто поясняю, почему у меня возникла проблема с пониманием указанных моментов.

[Otta]

TR63 в сообщении #724969 писал(а):

я писала, что для конкретного отрезка мне всё понятно. Спрашивала для ЛЮБОГО конечного отрезка.

В моем ответе не уточняется, о каком именно отрезке идет речь. Речь идет о том отрезке, на котором выполнено неравенство. Если неравенство выполнено на каждом отрезке - значит, на каждом отрезке оно сохранится.
Вы об этом? Если нет, то пожалуйста, попробуйте сформулировать, о чем же.

ewert в сообщении #724972 писал(а):

Справа -- в определённом смысле строго.

Да, для строгого неравенства между интегралами необязательно выполнение такого же неравенства между значениями функций во всех точках отрезка. В классе интегрируемых по Риману необходимо и достаточно, чтобы одна функция превышала другую на множестве ненулевой меры Лебега. Тогда неравенство между интегралами будет строгое. Во всех остальных точках функции могут и совпадать.

-- 17.05.2013, 20:06 --

TR63 в сообщении #725126 писал(а):

Вычисление первого замечательного предела.
Там знак "меньше"на бесконечности переходит в знак "эквивалентно" ("равно"?)

Извините, первый замечательный предел к бесконечности не имеет отношения. Это предел отношения синуса к собственному аргументу, когда последний стремится к нулю.

[TR63]

Otta в сообщении #725129 писал(а):

Если неравенство выполнено на каждом отрезке - значит, на каждом отрезке оно сохранится.

Немного не об этом. Чуть выше я написала, о чём.
Ответ provincialka, если я правильно поняла, меня устраивает.

-- 17.05.2013, 19:25 --

Otta в сообщении #725129 писал(а):

Извините, первый замечательный предел к бесконечности не имеет отношения. Это предел отношения синуса к собственному аргументу, когда последний стремится к нулю.

Я думала, что там есть цепочка неравенств, типа $\sin x<x$. Если ошиблась, извините. (Не проверяла. Посмотрю.)

[Otta]

TR63 в сообщении #725132 писал(а):

Немного не об этом. Чуть выше я написала, о чём.
Ответ provincialka, если я правильно поняла, меня устраивает.

...меня терзают смутные сомнения, что Вы этот ответ поняли как "математика математикой, а на практике может быть что угодно".
Что угодно - не может. Вполне возможно, что Ваш вопрос совершенно однозначно и давно решен, но Вы до сих пор его не задали. Текст, который Вами написан по этому поводу, ничего не объясняет, кроме причин Ваших затруднений.

-- 17.05.2013, 20:31 --

TR63 в сообщении #725132 писал(а):

Я думала, что там есть цепочка неравенств, типа . Если ошиблась, извините. (Не проверяла. Посмотрю.)

Есть, но на бесконечности это неравенство ничего не дает. На бесконечности синус по модулю оценивается единицей, и по теореме о двух милиционерах имеем отношение синуса к его аргументу стремится к нулю. Это не первый замечательный предел.

[TR63]

Otta в сообщении #725138 писал(а):

Что угодно - не может.

Вполне согласна.

[ewert]

TR63 в сообщении #725126 писал(а):

переходит в знак "эквивалентно" ("равно"?)

Всё-таки стоит подучить, что называется пределом. "Эквивалентно" -- ни разу не есть "равно".

[TR63]

Otta в сообщении #725138 писал(а):

Есть, но на бесконечности это неравенство ничего не дает.

Я думала, что можно сделать замену переменных. Тогда новая переменная будет стремиться к нулю (речь ведь идёт о любом конечном отрезке).

ewert в сообщении #725145 писал(а):

"Эквивалентно" -- ни разу не есть "равно".

Согласна (но не это влияет на ответ; да, определение предела: во втором примере используемому качеству можно поставить в соответствие какой-то номер (константа); предел константы равен константе, и всё сходится; остаётся показать, что множество различных математических качеств счётно, чтобы у качества, используемого в теореме, был гарантированный конечный номер).

[Otta]

TR63 в сообщении #725338 писал(а):

Я думала, что можно сделать замену переменных. Тогда новая переменная будет стремиться к нулю (речь ведь идёт о любом конечном отрезке).

Можно. Но предел от этого не станет первым замечательным. И функция после замены будет другая, и значение предела не то.

TR63 в сообщении #725338 писал(а):

Согласна (но не это влияет на ответ; да, определение предела: во втором примере используемому качеству можно поставить в соответствие какой-то номер (константа); предел константы равен константе, и всё сходится; остаётся показать, что множество различных математических качеств счётно, чтобы у качества, используемого в теореме, был гарантированный конечный номер).

Неясно, о каком качестве идет речь. Но какое отношение счетность значений чего-то там имеет к предельным переходам. Рассмотрите множество рациональных чисел. Занумеруйте, как это делают классически. Предел чего равен чему и при какой базе?

А или по другому можно посмотреть на Ваше расплывчатое утверждение. Любому вещественному числу можно поставить в соответствие конечное число: само это вещественное число. Даже счетность не нужна. Но причем тут предел? Какова функция, куда стремится аргумент, куда значение функции? Не использовалось ничего, кроме того, что число равно самому себе.

Напрасно Вы не послушали совета и не стали смотреть, что называется пределом.

[TR63]

TR63 в сообщении #725132 писал(а):

Извините, первый замечательный предел к бесконечности не имеет отношения. Это предел отношения синуса к собственному аргументу, когда последний стремится к нулю.

Я думала, что там есть цепочка неравенств, типа

Otta в сообщении #725138 писал(а):

Есть, но на бесконечности это неравенство ничего не дает.

(Вернёмся назад.) Речь идёт не об одном неравенстве, а о цепочке, состоящей из любого конечного количества неравенств. И не о предельном переходе.

Otta в сообщении #725497 писал(а):

Неясно, о каком качестве идет речь.

О качестве, используемом в теореме Гурвица на стр. 26 (Постников, "Устойчивые многочлены"; это по памяти; книгу надо поискать).

Otta в сообщении #725497 писал(а):

Но какое отношение счетность значений чего-то там имеет к предельным переходам.

Повторяю, речь не идёт о предельных переходах.

[Otta]

TR63 в сообщении #725528 писал(а):

Повторяю, речь не идёт о предельных переходах.

Она идет обо всем по очереди. То о пределах, то об интегралах (которые - определенные, - тоже суть некий предельный переход, и в силу этого на него распространяются свойства предельного перехода вообще), то, оказывается, ни о том, ни о другом. Формализуйте уже утверждение, которое Вам хотелось бы доказать или опровергнуть, нормальным математическим языком, и тогда можно будет о чем-то действительно говорить.