Сходимость рядов

[AlinkoMalinko]

$\frac{n^\ln(n)}{\ln(n)^n}$

Как исследовать на сходимость такой ряд?
Не могу даже предел найти (проверить необходимое условие)

[ewert]

Возьмите логарифм от дроби. Какое слагаемое перевесит?

[gris]

Там, конечно, надо понимать как $\dfrac {n^{\ln n}}{(\ln n)^n}$
Иначе неинтересно.

[AlinkoMalinko]

gris в сообщении #723189 писал(а):

Там, конечно, надо понимать как $\dfrac {n^{\ln n}}{(\ln n)^n}$
Иначе неинтересно.

$\dfrac {n^{\ln n}}{(\ln n)^n}$
да, действительно (сори).
Логарифм от дроби подсказал, что знаменатель растет быстрее. Думаю, ряд имеет шанс сходится
Пробовала применить радикальный принцип Коши:
$\lim_{x \to \infty} {\sqrt[n] {\dfrac{n^{\ln n}}{(\ln n)^n}}}=\lim_{x \to \infty}\dfrac {n^{\ln n/n}}{(\ln n)}=0$
Правильно?

[ewert]

Пока нет -- пока что в числителе неопределённость.

[AlinkoMalinko]

ewert в сообщении #724108 писал(а):

Пока нет -- пока что в числителе неопределённость.

Спасибо, расписала предел, к нулю стремится.

К рядами вида с общим членом $ \frac{\cos(n)}{n}$ применимы следующие рассуждения:
$\frac{1}{n} $ стремится к 0 равномерно, а частичные суммы числителя ограничены (Дирихле)? А почему ограничены?

[provincialka]

Есть явная формула для таких сумм. Правда, они ограничены не везде, только там, где $\sin{x\over2}$ отделен от 0.

[ewert]

AlinkoMalinko в сообщении #724205 писал(а):

А почему ограничены?

Умножьте каждый косинус на $\sin\frac12$ и превратите каждое произведение в сумму -- почти все слагаемые сократятся.

[provincialka]

А, у вас $x$ вообще нет. Тогда ограничены (см совет выше)