Площадь получается ноль, почему?

[Ms-dos4]

provincialka в сообщении #723781 писал(а):

Интеграл от положительной функции $r$ никак не может быть равным 0. Почему у вас нижний предел для $r$ может принимать отрицательные значения? Параметр $r$ принимает неотрицательные значения.

ТС надо сначала разобраться, по какой области он вообще интегрирует(у меня такое ощущение, что пределы выставлены "от фонаря").
Так что пусть лучше ответит, что за кривые представляются уравнениями
$\[r = a( \pm 1 - \cos \varphi )\]$
и
$\[r = \sqrt 3 a\sin \varphi \]$

[Otta]

Ms-dos4 в сообщении #723778 писал(а):

Начнём вот с чего. Мы получили
$\[r = a( \pm 1 - \cos \varphi )\]$

Нет. Мы получили именно $\[r = a(1 - \cos \varphi )\]$. Вторая отпадает, радиус-вектор имеет неотрицательную длину.

Алексей К. в сообщении #723779 писал(а):

но в такой ситуации полезно

Прислушиваться к советам... или уж не спрашивать их.
Я свой не буду третий раз повторять. Пусть себе площадь нулевая.

[number_one]

Ms-dos4 в сообщении #723778 писал(а):

Начнём вот с чего. Мы получили
$\[r = a( \pm 1 - \cos \varphi )\]$
Вы знаете, что это за кривая? (Ну, может быть, вы узнаете её в исходном виде - декартовых координатах, в которых она дана).

Не знаю как она называется, но вот даже если взять с минусом будет ноль площадь, а на картинке не ноль при $a=1$

[Ms-dos4]

Цитата:

Вторая отпадает, радиус-вектор имеет неотрицательную длину.

А вот про это я бы поспорил. Иногда очень даже полезно использовать произвольные r. Хотя тут на этот счёт в соседнем подфоруме был целый "холивар". Впрочем здесь от этого ответ не зависит - какое бы значение вы ни взяли, всё равно получится одно и то же.

-- Вт май 14, 2013 17:27:43 --

number_one

Цитата:

Не знаю как она называется, но вот

А самим, без Wolfram Alpha слабо? В общем то 1-я кривая это кардиоида, а другая окружность.
Ну теперь расставляйте пределы и вперёд.
P.S.Я не рекомендую всюду использовать комп на стадии обучения - а то вы даже не понимаете, что делаете.

[ewert]

Пастернака не читал, но скажу: типичная причина, по которой в подобных задачах возникает ноль -- это игнорирование модуля при извлечении корня.

И ещё (в сторону до сих пор почему-то живучей темы): вот так всегда бывает, когда применяют полярную систему координат, не отдавая себе отчёт в том, что это, собственно, такое.

[Otta]

Ms-dos4 в сообщении #723795 писал(а):

А вот про это я бы поспорил. Иногда очень даже полезно использовать произвольные r. Хотя тут на этот счёт в соседнем подфоруме был целый "холивар".

(Оффтоп)

Не зная сути холивара, мне трудно спорить, конечно.

----------
Кстати, я что-то прозевала антиресную деталь - площадь которой из областей предполагается считать?

[Ms-dos4]

Otta

(Оффтоп)

http://dxdy.ru/topic71071.html

[number_one]

$S_1=\int\limits_0^\pi d\varphi \int\limits^{\sqrt 3 a\sin\varphi }_{a(1-\cos\varphi)}rdr=0$

или $S_2=\int\limits_0^\pi d\varphi \int\limits^{\sqrt 3 a\sin\varphi }_{a(-1-\cos\varphi)}rdr=0$

Как-то так...

[Алексей К.]

number_one в сообщении #723794 писал(а):

Не знаю как она называется (фу!!! //А.К.), но вот даже если взять с минусом будет ноль площадь, а на картинке не ноль при $a=1$

С тех пор как мы откорректировали размерности, это а стало типа единицей длины, масштабным коэффициентом для этой задачи (её можно переписать в терминах $\xi=\frac{x}a,\eta=\frac{y}a$. И ответ, очевидно, будет $S=ka^2$, где $k$ --- площадь, полученная для случая $a=1$. Т.е. картинки при других $a$ будут просто подобны этой, и площадь при $a\not=0$ будет ненулевая.

[Ms-dos4]

number_one
Вы по какому "алгоритму" пределы выставляли?

[Otta]

Ms-dos4, спасибочки. :)

[number_one]

Ms-dos4 в сообщении #723805 писал(а):

number_one
Вы по какому "алгоритму" пределы выставляли?

Окружность лежит ниже кардиоды, значит интегрируем от окружности до кардиоиды (при $a>0$ у нас $y\ge 0$, а значит $0\phi<\frac{\pi}{2}$. Кстати, а ведь при $a<0$ нужно будет поменять местами пределы, так как будем интегрировать от кардиоиды до окружности. Вот график при $a=-1$



-- 14.05.2013, 16:49 --

Алексей К. в сообщении #723804 писал(а):

где $k$ --- площадь, полученная для случая $a=1$.

Ну вот эта $k$ у меня почему-то получается равной нулю...

[Otta]

У меня какие-то нехорошие опасения. number_one, можно попросить Вас с помощью интеграла посчитать площадь области, ограниченной кривыми $x^2+y^2=1,\; x^2+y^2=4$ при $y<0$? Хотя бы составьте интеграл.

[number_one]

Otta в сообщении #723815 писал(а):

У меня какие-то нехорошие опасения. number_one, можно попросить Вас с помощью интеграла посчитать площадь области, ограниченной кривыми $x^2+y^2=1,\; x^2+y^2=4$ при $y<0$? Хотя бы составьте интеграл.

$S=\int\limits_\pi^{2\pi} d\varphi \int\limits_{1}^{2}rdr$

[Otta]

Отлично. А теперь уже подобный Вашему примеру. Площадь, ограниченная областью, $x^2+y^2<1, x^2+y^2<2y$. Тоже достаточно интеграл.