Интеграл от арксинуса

[Limit79]

$\int\limits_{-1}^{1} 2 \arcsin(\sqrt{1-x^2}) dx = 2 \int\limits_{-1}^{1} \arcsin(\sqrt{1-x^2}) dx$

Заменяю: $u=\arcsin(\sqrt{1-x^2})$, тогда $du = \frac{-dx}{\sqrt{1-x^2}}$

И все бы хорошо, но при такой замене оба предела обращаются в ноль, то есть интеграл равен $0$, но он равен $2$.

-- 12.05.2013, 18:10 --

Как я понимаю, эту ситуацию можно обойти так: интеграл от четной функции по симметричному промежутку равен удвоенному интегралу по половине промежутка. Но почему при обычной замене так происходит?

[iifat]

Вариант первый: берём неопределённый интеграл, возвращаемся к прежним переменным и подставляем пределы.
Вариант второй: воспользуемся чётностью, перейдём к пределам от нуля до единицы и попробуем замену ещё раз.

[ewert]

Limit79 в сообщении #722901 писал(а):

Но почему при обычной замене так происходит?

Потому, что Ваша замена -- чётная и потому не биективна, а это недопустимо. И вообще лучше не замену делать, а проинтегрировать по частям.

[Limit79]

ewert
Понял. Я после замены по частям интегрирую.

iifat
ewert
Спасибо за помощь!