Просто интеграл...

[Shtorm]

provincialka, после применения формулы синус суммы мы получаем произведение синусов и косинусов зависящих от $x$ и не зависящих от $x$.

[nnosipov]

Shtorm, Вы продемонстрируйте результат.

[TOTAL]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #722837 писал(а):

Shtorm, Вы продемонстрируйте результат.

Запросто: $\displaystile \sin(x+y) =\sin(x+y) \sin\frac{\pi}{2} + \cos(x+y)\cos\frac{\pi}{2}$

[Shtorm]

Для случая $n=3$. Применяем ту формулу и получаем:

$4\int\limits_0^{\pi}\frac{\sin x\sin(x+\pi/3)\sin(x+2\pi/3)}{\sin x}dx=4\int\limits_0^{\pi}\sin(x+\pi/3)\sin(x+2\pi/3)dx=$
$=4\int\limits_0^{\pi}(\sin(x)\cos(\pi/3)+\cos(x)\sin(\pi/3))(\sin(x)\cos(2\pi/3)+\cos(x)\sin(2\pi/3))dx$
После преобразований и вычисления интегралов получаем:

$$4\cdot\frac{\pi}{2}[\cos(\pi/3)\cos(2\pi/3)+\sin(\pi/3)\sin(2\pi/3)]$$

Коэффициент перед выражением (в данном случае 4) может быть представлен через $n$ как $2^{n-1}$. В синусах и косинусах в квадратных скобках $n$ закладывается в знаменателе аргументов. Количество слагаемых в квадратных скобках очевидно тоже будет зависеть от $n$. Вычислив таким же образом при других значениях $n$ - надеюсь общая формула будет просматриваться.

[nnosipov]

Shtorm в сообщении #722866 писал(а):

Вычислив таким же образом при других значениях $n$ - надеюсь общая формула будет просматриваться.

Тут не надежды нужны, а конкретные вычисления в общем виде. Продемонстрируете?

[ewert]

Shtorm в сообщении #722866 писал(а):

надеюсь общая формула будет просматриваться.

Шибко уж долго она будет просматриваться, не говоря уж об использовании далеко не очевидной тригонометрии. Фактически идейных подходов в этой задаче только два: или через комплексные экспоненты, или через рекуррентные соотношения.

Ну или вспомнить, что это более-менее ядро Дирихле; но это уже неспортивно.

[Shtorm]

Да, сходу так вот и не напишешь. Там нужно будет переходить к суммированию произведений, возможно для простоты где-то воспользоваться формулами приведения. Но я подумаю.

[ewert]

(Оффтоп)

Ходы кривые роет подземный умный крот.
Нормальные герои всегда идут в обход.
Нормальные герои всегда идут в обход!

В обход идти, понятно, не очень-то легко,
Не очень-то приятно и очень далеко.
Не очень-то приятно и очень далеко...

Зато так поступают одни лишь мудрецы,
Зато так наступают одни лишь храбрецы.
Зато так наступают одни лишь храбрецы!

Глупцы героев строя бросаются вперед,
Нормальные герои всегда наоборот!
Нормальные герои всегда наоборот.

И мы с пути кривого ни разу не свернем,
А надо будет -- снова пойдем кривым путем.
А надо будет -- снова пойдем кривым путем!