Определенный интеграл #2

[Limit79]

$\int\limits_{3}^{4.5}\frac{(x-1)^3 dx}{\sqrt{(6x-x^2)^5}}$

Тут была идея заменами свести интеграл к подстановкам Чебышева, но так и не получилось...

[Shtorm]

Limit79, ну так и здесь можно воспользоваться тем же методом преобразования под корнем, а затем

$$x-3=3\sin t$$

или

$$x-3=3\cos t$$

[Ms-dos4]

Опять же, подстановки
$\[\sqrt {6x - {x^2}} = tx\]$
или
$\[\sqrt {6x - {x^2}} = t(x - 6)\]$
Рационализируют интеграл

[provincialka]

А если обозначить $t=(x-3)^2$, то интеграл сведется к сумме с коэффициентами четырех интегралов вида $\int_{0}^{2.25}\frac{t^adt}{(9-t)^{5/2}}$. Здесь $a$ принимает значения $-{1\over2},0,{1\over2},1$. Думаю, эти интегралы можно вычислить в общем виде.

[Limit79]

provincialka
Тот интеграл не выражается через элементарные функции...

[provincialka]

Для произвольных $a$ конечно, нет.

[Limit79]

provincialka
Кстати, хорошая идея, те четыре интеграла, возможно, берутся через подстановки Чебышева (первый точно берется, остальные поверяю).

[Limit79]

Хотел спросить: пределы интегрирования от $0$ до $2.25$ по $t$.

Я делаю замену $9t^{-1} - 1 = u^2$, то есть $u = \sqrt{9t^{-1} - 1 }$, то есть новые пределы интегрирования по $u$ получаются от $\infty$ до $\sqrt{3}$ - это нормально, что был определенный интеграл, а при замене получился несобственный?

[Limit79]

В общем, после нескольких часов, я таки его вычислил, получилось $I= \frac{2}{27} + \frac{152\sqrt{3}}{2187}$

Господа, большое спасибо за помощь!

[provincialka]

Limit79 в сообщении #722491 писал(а):

это нормально, что был определенный интеграл, а при замене получился несобственный?

Вполне. Вот если бы неопределенный получился - было бы ненормально

[Limit79]

provincialka
Понял, спасибо.

[Limit79]

Может кому будет интересно: мне подсказали еще один вариант:

$$\begin{aligned} \int\limits_3^{4.5} {\frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}{{\sqrt {{{\left( {6x - {x^2}} \right)}^5}} }}dx} & = \left( \begin{gathered} {t^2} = \frac{6}{x} - 1 \hfill \\ x = \frac{6}{{{t^2} + 1}} \hfill \\ dx = - \frac{{12tdt}}{{{{\left( {{t^2} + 1} \right)}^2}}} \hfill \\ \end{gathered} \right) = - \frac{1}{{648}}\int\limits_1^{\frac{1}{{\sqrt 3 }}} {\frac{{{{\left( {5 - {t^2}} \right)}^3}}}{{{t^4}}}dt} = \\[2pt] & = \frac{1}{{648}}\int\limits_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 {\left( {\frac{{125}}{{{t^4}}} - \frac{{75}}{{{t^2}}} + 15 - {t^2}} \right)dt} =\\[2pt] & = \left. {\frac{1}{{648}}\left( { - \frac{{125}}{{3{t^3}}} + \frac{{75}}{t} + 15t - \frac{{{t^3}}}{3}} \right)} \right|_{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}^1 = \\[2pt] & = \frac{{152}}{{2187}}\sqrt 3 + \frac{2}{{27}} \hfill \\ \end{aligned}$$

[Ms-dos4]

Limit79
Так я вам это и говорил с самого начала(3-й пост данной темы)

[Limit79]

Ms-dos4
Я пробовал, но запутался

[Ms-dos4]

Так это та же самая замена
$\[\sqrt {6x - {x^2}} = tx \Rightarrow 6x - {x^2} = {t^2}{x^2} \Rightarrow {t^2} = \frac{6}{x} - 1\]$