Сечение пирамиды

[Terraniux]

Периметр сечения треугольной пирамиды не превосходит периметра хотя бы одной ее грани. Доказать.

[TOTAL]

Параллельным сдвигом секущей плоскости делаем сечение треугольным, для которого утверждение очевидно.

[provincialka]

А если сечение параллельно скрещивающимся ребрам?

[ewert]

provincialka в сообщении #722267 писал(а):

А если сечение параллельно скрещивающимся ребрам?

При параллельном смещении четырёхугольного сечения его периметр меняется монотонно (поскольку линейно), и в каждом из двух крайних положений оно вырождается в треугольник, если не ещё проще.

Другое дело, что для треугольных сечений утверждение мне не кажется таким уж очевидным. По-моему, там без соображений выпуклости как-то никак.

[TOTAL]

Грани $DAB$ и $DAC$ тетраэдра развернули в одну плоскость. Видно, что вершину $A'$ треугольного сечения можно сдвинуть в $D$ с увеличением суммы $C'A' + B'A'$. Если бы точка $B''$ лежала на $AB,$ то $A'$ сдвигали бы в $A$

[ewert]

TOTAL в сообщении #722317 писал(а):

Видно, что вершину $A'$ треугольного сечения можно сдвинуть в $D$ с увеличением суммы $C'A' + B'A'$.

Не видно -- там соотношение углов при точке $A'$ непредсказуемо.

А вот что действительно видно, причём безо всяких развёрток (с которыми ещё разбираться надо), так это выпуклая зависимость периметра от смещения одной из точек вдоль ребра. Поэтому хотя бы в одном из двух крайних положений этой точки периметр окажется больше.

[TOTAL]

ewert в сообщении #722322 писал(а):

TOTAL в сообщении #722317 писал(а):

Видно, что вершину $A'$ треугольного сечения можно сдвинуть в $D$ с увеличением суммы $C'A' + B'A'$.

Не видно -- там соотношение углов при точке $A'$ непредсказуемо.

Видно. Из неравенств треугольника видно, соотношения углов ни при чем.

$A'B'' + B''B' > A'B',$ поэтому $C'B'' + B''B' > C'A' + A'B'$
$C'D + DB'' > C'B',$ поэтому $C'D + DB' > C'B'' + B''B'$

[ewert]

Я уже увидел. Просто Ваш рисунок и слова о развороте вводят в заблуждение.

Так, конечно, элементарнее. Однако с выпуклостью логически проще. Но в любом случае я не назвал бы это очевидным.

[Terraniux]

(Оффтоп)

Из всего вышесказанного следует, что не так уж плохо у меня получается задачи решать. Всем спасибо!