Независимость случайных величин.

[tanyxa_05]

Добрый день! Помогите, пожалуйста, разобраться, верно ли я рассуждаю.

Дана задача: Пусть $\xi$ и $\eta$ - независимые случайные величины, то $\xi^2$ и $\eta^2$ тоже независимые случайные величины.

Рассуждения:

$$P(\xi^2<x,\eta^2<y)=P(\xi<\sqrt{x}, \eta<\sqrt{y})=$$

так как $\xi$ и $\eta$ - независимые случайные величины, имеем

$$=P(\xi<\sqrt{x})P( \eta<\sqrt{y})=P(\xi^2<x)P(\eta^2<y). $$

Меня смущает самое первое равенство: переход от квадратов к корням, но как доказать по другому это утверждение я не могу понять.

Заранее спасибо!

[ИСН]

Допустим, в какой-то забытой богом деревне $\xi=-20,\,x=100$. Верно ли, что $\xi^2<x$? Верно ли, что $\xi<\sqrt{x}$? Эквивалентны ли, значит, эти два неравенства?

[--mS--]

А в другой забытой богом деревне $\xi$ какая угодно, а $x=-100$.

[tanyxa_05]

Я понимаю, что здесь какой-то другой подход, но я не вижу какой.
Подскажите, пожалуйста.

[ИСН]

Подход не другой. Подход такой, только не надо заменять неравенства на неэквивалентные им, а надо на эквивалентные.

[--mS--]

А ещё следует точно представлять, что Вы доказываете. Определение можете привести, которым пользуетесь?

[tanyxa_05]

Определение, которым пользуюсь:
Случайные величины $\xi, \eta$ называются независимыми, если

$$ F_{\xi \eta} (x,y)=F_\xi(x)F_\eta(y), $$

где $F$ это функция распределения, но так как нам по условию задачи не сказано какая функция распределения, то я пользуюсь определением:
$F_\xi(x)=P(\xi<x)$.

Тогда решение задачи будет выглядеть так:

$$P(\xi^2<x,\eta^2<y)=$$

(Если $x,y$ не положительные то везде нули( т.к. мы рассматриваем $x,y \in R$) и данный переход так же будет верным)

$$= P(-\sqrt{x}<\xi<\sqrt{x},-\sqrt{y}<\eta<\sqrt{y}) = P(-\sqrt{x}<\xi<\sqrt{x})P(-\sqrt{y}<\eta<\sqrt{y}) = $$

(так как $\xi,\eta$ независимые случайные величины)

$$ = P(\xi^2<x)P(\eta^2<y). $$

Теперь мои рассуждения верны?

[--mS--]

Для положительных $x,y$ Ваши равенства верны. А вот для прочих... Какой переход будет верным - вот этот, в комплексную плоскость?

tanyxa_05 в сообщении #721408 писал(а):

$$P(\xi^2<x,\eta^2<y)=$$

(Если $x,y$ не положительные то везде нули( т.к. мы рассматриваем $x,y \in R$) и данный переход так же будет верным)

$$= P(-\sqrt{x}<\xi<\sqrt{x},-\sqrt{y}<\eta<\sqrt{y}) $$

Не этот переход будет верным, а равенство $0=\mathsf P(\xi^2<x,\,\eta^2<y)=\mathsf P(\xi^2<x)\mathsf P(\eta^2<y)=0$ будет верным, если и $x$, и $y$ неположительны!

А что, "$x,y$ положительны" и "$x,y$ неположительны" исчерпывают все варианты?

В определении следует для порядка кванторы употреблять, а то ведь можно прочесть и как

Случайные величины $\xi$ и $\eta$ называются независимыми, если для каких-нибудь $x,y$

$$F_{\xi,\,\eta}(x,y)=F_\xi(x)F_\eta(y).$$

[tanyxa_05]

Все поняла, спасибо!