Разложение в ряд лорана и указать С_-1

[LD-hamas1]

помогите разложить в ряд Лорана в точке $z=0$
$\frac{e^{9z}-1}{sinz - z +\frac{z^3}{6}}$

-- 03.05.2013, 19:22 --

попробовал так $\frac{1}{sinz} \frac{e^{9z}-1}{1-\frac{6z+z^3}{6sinz}}$
$\frac{e^{9z}-1}{sinz}$ (1+$\frac{6z+z^3}{6sinz}$+$(\frac{6z+z^3}{6sinz})^2$....)

[provincialka]

В какой области? В окрестности 0?
Весь ряд Лорана вряд ли выпишите. Разложите синус в знаменателе, два слагаемых сократятся. Попробуйте поделить ряды.

[LD-hamas1]

provincialka в сообщении #719220 писал(а):

В какой области? В окрестности 0?
Весь ряд Лорана вряд ли выпишите. Разложите синус в знаменателе, два слагаемых сократятся. Попробуйте поделить ряды.

синус разложить через экспоненту ?

[provincialka]

Зачем? Через стандартное разложение.

[LD-hamas1]

аааа это где $z - \frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}$
-- 03.05.2013, 20:09 --

а тогда в знаменателе будет разложенный ряд от синуса без первых двух частных так получается?

[provincialka]

LD-hamas1 в сообщении #719226 писал(а):

а тогда в знаменателе будет разложенный ряд от синуса без первых двух частных так получается?

Да. Числитель тоже разложите. Если вам нужен вычет (т.е. коффициент $c_{-1}$) попробуйте поделить ряды.

[LD-hamas1]

извините а не могли бы кинуть ссылку я просто не знаю даже не имею представления как делить ряды друг на друга

[LD-hamas1]

вобщем я поделил ряды и написал общую формулу , а что делать с $1$ которая поделена на разложенный синус без первых 2-х чисел ряда, просто поделить 1 на каждое число ряда? и записать так же общую формулу для полученного ряда? если так то нужно будет просто вычесть ряды

[provincialka]

Какая еще единица? В числителе единица сокращается. Посоветовала бы поделить столбиком, но, боюсь, не сумеете... Вы умеет многочлены столбиком делить?

В числителе получается величина порядка $z$, в знаменателе - порядка $z^5$. Можно вынести числовые общие множители, получим выражение типа ${9\cdot5!\over z^4}{1+{9\over2}z+...\over 1-{1\over 6\cdot 7}z^2+...}$
Во втором сомножителе надо выполнить деление, хотя бы до $z^3$, чтобы получить $c_{-1}$.

Числовые коэффициенты конечно, ... хм-хм. Не очень

Да, в знаменателе степени растут быстро, поэтому можно взять только два слагаемых. И заменить деление умножением (если догадаетесь, на что)

[LD-hamas1]

provincialka в сообщении #719299 писал(а):

Какая еще единица? В числителе единица сокращается. Посоветовала бы поделить столбиком, но, боюсь, не сумеете... Вы умеет многочлены столбиком делить?

В числителе получается величина порядка $z$, в знаменателе - порядка $z^5$. Можно вынести числовые общие множители, получим выражение типа ${9\cdot5!\over z^4}{1+{9\over2}z+...\over 1-{1\over 6\cdot 7}z^2+...}$
Во втором сомножителе надо выполнить деление, хотя бы до $z^3$, чтобы получить $c_{-1}$.

Числовые коэффициенты конечно, ... хм-хм. Не очень

Да, в знаменателе степени растут быстро, поэтому можно взять только два слагаемых. И заменить деление умножением (если догадаетесь, на что)

вот посмотрите пожалуйста $\sum{(-1)^n\frac{9^{n+1}(2n+5)!}{n!z^{n+4}}}$ далее получается подставляю $-1$ вместо $n$ и в полученном выражении подставлю $z=0$ ?

[provincialka]

Это откуда? Другим методом? Ничего похожего у меня не получилось. Вы что, почленно ряды перемножали?
В каких пределах в сумме меняется $n$? И зачем $z=0$ подставлять?

(Оффтоп)

Все, я спать ложусь.

И вообще мне эта задача надоела. Все, что могла - я сказала.

[LD-hamas1]

$n$ от 0 до бесконечности , ну как для того что бы найти вычет он у меня бесконечности равен для точки $z=0$

[LD-hamas1]

благодарю за помощь)

[LD-hamas1]

помогите определить особые точки и их тип
$\frac{e^{9z}-1}{sinz - z +\frac{z^3}{6}}$
получил 2 особые точки $z_1=0$ $z_2=\infty$

далее решил предел для точки $z_1=0$ сперва получается неопределенность, по правилу Лапиталя получил полюс вот только порядок полюса не знаю как определить $\lim\frac{9e^{9z}}{cosz - 1 + \frac{z^2 }{2}}$