Тетраэдр

[TOTAL]

ewert в сообщении #718140 писал(а):

TOTAL в сообщении #718136 писал(а):

параллелепипед, который состоит из трех частей, а не двух.

Проверьте на простейшем случае $n=2$ (которого, кстати, для доказательства и достаточно)

Простейший случай ввел Вас в заблуждение, проверьте для $n=3.$

[ewert]

TOTAL в сообщении #718146 писал(а):

Простейший случай ввел Вас в заблуждение

Он не мог этого сделать -- он не умеет. Отрежьте от тетраэдра произвольного размера уголок размера 2. Все плоскости большого тетраэдра, кроме четырёх, проходящих через середины рёбер этого уголка, его не затрагивают (в крайнем случае касаются вершин).

[TOTAL]

ewert в сообщении #718151 писал(а):

TOTAL в сообщении #718146 писал(а):

Простейший случай ввел Вас в заблуждение

Он не мог этого сделать -- он не умеет. Отрежьте от тетраэдра произвольного размера уголок размера 2. Все плоскости большого тетраэдра, кроме четырёх, проходящих через середины рёбер этого уголка, его не затрагивают (в крайнем случае касаются вершин).

Просто посчитайте количество частей при $n=3.$ (Правильный результат $1+4+10=15,$ а не $1+4+9=14.$)

[ИСН]

На 3 впервые появляется опрокинутый маленький тетраэдр. Это многим ломает мозг.

[TOTAL]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #718186 писал(а):

появляется опрокинутый маленький тетраэдр. Это многим ломает мозг.

Надпись на воротах: Осторожно, во дворе злой маленький опрокинутый тетраэдр!

[provincialka]

Вообще не представляю, как это можно представить... Разве что взять большую-большую картофелину и нарезать!

[gris]

— Мама, поцчему меня никто не слышит? Мне хочется курочки!
— Иди, только надень шапку.

Картошку резать не надо. Режьте сыр. Ладно, показываю наглядно.
Пирамиду топологично превращаем в прямоугольную. Совмещаем секущую плоскость с нижним основанием. На рисунке $n=3$. Начинаем двигать её вверх. При этом, что характерно, вертикальные секущие плоскости (показаны красным) остаются на месте. Наклонная оставляет синий след. При движении плоскости диагональные линии смещаются к вершине. Каждая окрашенная область принадлежит телу-части тетраэдра. Мы видим, что происходит. Появляется перевёрнутый тетраэдр, но он не маленький, а такой же как все. При достижении плоскостью следующего уровня снова появляется деление её на треугольники.

[provincialka]

gris, гениально! А в четвертом слое сколько будет "перевернутых"?

[TOTAL]

provincialka в сообщении #718314 писал(а):

А в четвертом слое сколько будет "перевернутых"?

Вот же, в п.2 перевернутые

TOTAL в сообщении #717953 писал(а):

В слое между треугольниками со стороной $k$ и $k-1$ имеются:

1) $\frac{k(k+1)}{2}$ тетраэдров
(основание тетраэдра на треугольнике $k$, ориентировано как сам треугольник)

2) $\frac{(k-2)(k-1)}{2}$ тетраэдров
(основание тетраэдра на треугольнике $k-1$, ориентировано противоположно самому треугольнику)

3) $\frac{k(k-1)}{2}$ октаэдров

[gris]

Да возьмите любой слой. Задача сводится к плоской: на сколько частей делится треугольник тремя семействами линий, из которых диагональное немного смещено. Ну вот посмотрите на картинке.