Тетраэдр

[TOTAL]

gris в сообщении #717553 писал(а):

Таким образом, количество объёмных частей в $k$-том слое равно количеству плоских частей в $k$-том сечении. А общее количество частей равно вашей сумме квадратов.

В $k$-том слое $k(k+1)/2+(k-2)(k-1)/2$ тетраэдров и ещё $k(k-1)/2$ фиговин (восемь треугольных граней у каждой)

[Батороев]

mak1610 в сообщении #716866 писал(а):

ребра тетраэдра разделили на n частей и провели через них плоскости, параллельные граням. На сколько частей разделили тетраэдр?

На $n^3$ частей.

[TOTAL]

Батороев в сообщении #717806 писал(а):

На $n^3$ частей.

При $n=2$ на 5 частей. Это исключение?

[Батороев]

TOTAL в сообщении #717808 писал(а):

При $n=2$ на 5 частей. Это исключение?

Пардон! С ходу не разобрался.
Но и 5 частей при n=2 тоже не верно.

[ИСН]

Да ну? А сколько же?

[TOTAL]

Вот, кто умеет суммы считать:

$$\sum_{k=1}^n\frac{3k^2-3k+2}{2}$$

[Батороев]

Искренне извиняюсь за свой промах! Не учел, что в слоях октаэдры не режутся.

-- 30 апр 2013 22:12 --

А попутала меня подобная задача про четырехугольную пирамиду.

[mak1610]

TOTAL в сообщении #717829 писал(а):

Вот, кто умеет суммы считать:

$$\sum_{k=1}^n\frac{3k^2-3k+2}{2}$$

Можете пояснить откуда взялась эта формула?

[TOTAL]

Так уже пояснял. В слое между треугольниками со стороной $k$ и $k-1$ имеются:

1) $\frac{k(k+1)}{2}$ тетраэдров
(основание тетраэдра на треугольнике $k$, ориентировано как сам треугольник)

2) $\frac{(k-2)(k-1)}{2}$ тетраэдров
(основание тетраэдра на треугольнике $k-1$, ориентировано противоположно самому треугольнику)

3) $\frac{k(k-1)}{2}$ октаэдров

[ИСН]

Объём сходится.

[ewert]

Ладно, раз уж пошла такая пьянка. Как тупо я бы обосновывал.

По двукратной индукции. Надо вычислить каждый следующий двумерный слой (для наглядности представляем его себе нижним).

Отсекаем от этого двумерного слоя одномерный, представляющий собой эдакую вытянутую призмочку плюс один лишний маленький тетраэдрик. Достаточно очевидно, что при уменьшении длины этой призмочки на единичку количество кусочков уменьшается на двоечку. Тогда из начального условия следует, что одномерный слой состоит из $2n+1$ кусков.

Следовательно, двумерный слой, нижнее ребро которого разбито на $n$ частей, состоит из $n^2+m$ кусков, а из начального условия следует $m=0$, ч.т.д.

[TOTAL]

ewert в сообщении #717992 писал(а):

Достаточно очевидно, что при уменьшении длины этой призмочки на единичку количество кусочков уменьшается на двоечку.

Это ошибка.

[ewert]

TOTAL в сообщении #718074 писал(а):

Это ошибка.

Это ошибка?...

(там одно из утверждений действительно было неточным, но не это, и логика от этого ничуть не меняется; это же утверждение вполне очевидно)

[TOTAL]

ewert в сообщении #717992 писал(а):

Достаточно очевидно, что при уменьшении длины этой призмочки на единичку количество кусочков уменьшается на двоечку.

Длина призмочки уменьшается на единичку, когда от призмочки отрезается параллелепипед, который состоит из трех частей, а не двух.

[ewert]

TOTAL в сообщении #718136 писал(а):

параллелепипед, который состоит из трех частей, а не двух.

Проверьте на простейшем случае $n=2$ (которого, кстати, для доказательства и достаточно)