Линейная зависимость/независимость над $\mathbb{Q}$

[Lightyear]

1. Найти все $n,k$ такие, что $\sqrt[n]{k},\sqrt[k]{n},1$ линейно зависимые над $\mathbb{Q}$.
2. Докажите, что $\sqrt[3]{n},\sqrt[3]{n^2},1$ линейно независимы над $\mathbb{Z}$ для всех натуральных $n$.
3. Пусть $K\subset L\subset \mathbb{R}$- расширения полей, $A\subset L,|A|\ge 2$. Пусть для всех $a\in A$ найдется $n_a$, такое что $a^{n_a}\in K$ и при этом элементы $A$ попарно линейно независимы над $K$. Докажите, что все элементы $A$ линейно независимы над $K$.
4. Найдите степень расширения $[\mathbb{Q}(p_1^{\frac{1}{n_1}},p_2^\frac{1}{n_2},\ldots ,p_k^\frac{1}{n_k}):\mathbb{Q}]$, где $p_i$- различные простые

(Оффтоп)

Теорию Галуа эксплуатировать не возбраняется

[nnosipov]

Lightyear в сообщении #717363 писал(а):

2. Докажите, что $\sqrt[3]{n},\sqrt[3]{n^2},1$ линейно независимы над $\mathbb{Z}$ для всех натуральных $n$.

А это, кстати, неверно.

[Lightyear]

nnosipov в сообщении #717373 писал(а):

А это, кстати, неверно.

А, если $n$ не является кубом?

[nnosipov]

Lightyear в сообщении #717392 писал(а):

А, если $n$ не является кубом?

Да, если $n$ не точный куб, то всё в порядке, эти числа действительно линейно независимы над $\mathbb{Z}$ (или $\mathbb{Q}$, что одно и то же).

[Lightyear]

Ну я предлагаю эти задачи решить Вам и не только...

[provincialka]

2. Обозначим $\sqrt[3]n=x$, условие линейной зависимости выглядит так: $ax^2+a_1x+a_2=0$. Если $a=0$, то $\sqrt[3]n является рациональным числом, тогда $n$ - точный куб.

Пусть это не так. Имеем $x^2=bx+c$, тогда $x^3=bx^2+cx = b(bx+c)+cx$. Итак, $x^3=(b^2+c)x+bc = n$.

Если $(b^2+c)\ne 0$, то $x$ рационально. Если же $c=-b^2$, то $x^3=bc=-b^3$, так что $x=-b$ - целое.

1 -ая задача кажется сложнее, там два основания степени (корня).

[xmaister]

provincialka в сообщении #717481 писал(а):

1 -ая задача кажется сложнее, там два основания степени (корня).

Тут достаточно заметить, что минимальный многочлен для $\sqrt[m]{n}$- $x^k-(\sqrt[m]{n})^k$, Где $\sqrt[m]{n}^k\in\mathbb{N}$- минимальное.