Определение самосопряженного оператора

[AGu]

В курсе функционального анализа было следующее определение:

• Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве $X$ —
  это такой ограниченный линейный оператор $T\colon X\to X$, что $T=T^*$,
  где $T^*\colon X\to X$ определяется условием $\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle$ для всех $x,y\in X$.

На вопрос экзаменатора о том, что такое «самосопряженный оператор», студент ответил:

• Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве $X$ —
  это такое отображение $T\colon X\to X$, что $\langle Tx,y\rangle=\langle x,Ty\rangle$ для всех $x,y\in X$.

Прав ли студент?

[Ms-dos4]

Я могу ошибаться, но мне кажется что студент привёл определение эрмитового оператора. А он не всегда является самосопряжённым.

[g______d]

Да, прав, только он нарвался на доказательтво теоремы Хеллингера-Тёплица в качестве дополнительного вопроса.

Мне, правда, не нравится курс функционального анализа, в котором самосопряженные операторы автоматически считаются ограниченными. Самые интересные же такими не являются.

[AGu]

Ага.
А ничего, что в теореме Хеллингера — Тёплица речь идет о линейном операторе, в то время как студент о линейности не обмолвился?

[RIP]

А линейность доказывается тривиально. Расписывая по линейности и перекидывая $T$ на второй аргумент, получаем тождество $(T(\lambda x+\mu y)-\lambda Tx-\mu Ty,z)=0$, откуда следует линейность (достаточно взять $z=T(\lambda x+\mu y)-\lambda Tx-\mu Ty$, например).

[AGu]

Вот теперь -- отлично, вопросов больше нет. Давайте свою зачетку.

[Ms-dos4]

Цитата:

Ага.
А ничего, что в теореме Хеллингера — Тёплица речь идет о линейном операторе, в то время как студент о линейности не обмолвился?

А если оператор неограничен?

[AGu]

Ms-dos4 в сообщении #716887 писал(а):

А если оператор неограничен?

Дык Вы по ссылке-то сходите. Та теорема как раз и утверждает, что оператор автоматически будет ограниченным.

Кстати, этот фактец легко доказать, не зная ни Хеллингера, ни Тёплица, а зная лишь Банаха с его замкнутым графиком.

[Ms-dos4]

AGu в сообщении #716907 писал(а):

Ms-dos4 в сообщении #716887 писал(а):

А если оператор неограничен?

Дык Вы по ссылке-то сходите. Та теорема как раз и утверждает, что оператор автоматически будет ограниченным.

Кстати, этот фактец легко доказать, не зная ни Хеллингера, ни Тёплица, а зная лишь Банаха с его замкнутым графиком.

Действительно... Ничего уже не помню из функана, совсем отупел

[Oleg Zubelevich]

Пусть $X, Y$ -- нормированные пространства, $A:X\to Y$ -- линейный оператор. Доказать, что если $A^*(Y')\subseteq X'$ то $A$ -- ограничен. Звездой обозначаем алгебраическое сопряжение, штрихом -- топологическое сопряжение.

[AGu]

Кстати, можно подметить еще и такой эффектец:

Пусть $X$ и $Y$ — банаховы пространства,
$T\colon X\to Y$ и $S\colon Y'\to X'$ — произвольные отображения.
Если $\langle Tx\mid g\rangle=\langle x\mid Sg\rangle$ для всех $x\in X$ и $g\in Y'$,
то $T$ и $S$ — ограниченные линейные операторы
(и, разумеется, $S$ является сопряженным к $T$).

[Oleg Zubelevich]

Ага, а еще можно подметить, что подмножество лвп сильно ограничено iff оно слабо ограничено. Пришел Ржевский и все опошлил

[AGu]

[ewert]

AGu в сообщении #716696 писал(а):

В курсе функционального анализа было следующее определение:

• Самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве $X$ —
  это такой ограниченный линейный оператор $T\colon X\to X$, что $T=T^*$,
  где $T^*\colon X\to X$ определяется условием $\langle Tx,y\rangle=\langle x,T^*y\rangle$ для всех $x,y\in X$.

Это в каком курсе, интересно?... Решительно все слова переставлены в более-менее случайном порядке.

Так что студент прав не потому, что "линейность следует", а просто потому, что в своём ответе добросовестно придерживается присущего курсу разгильдяйства в формулировках.

[AGu]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #717261 писал(а):

Это в каком курсе, интересно?

ewert, не надейтесь на ответный флейм.
Разумеется, определение «нереальное», так сказать, собирательное — сформулированное таким дурацким способом, чтобы сразу дать ответы на возможные уточняющие вопросы.