асимптотика решения дифф. уравнения

[ecartman]

Пусть имеется дифф. уравнение вида:

$$ \frac{\partial}{\partial t} y(s,t)=C y(t,t), $$

где $C>0$ - известная константа, а $y(s,t)$ - искомая функция; оба аргумента принимают неотрицательные значения. Интересует асимптотика решения при $t\to\infty$, т.е. примерный вид решения для больших значений $t$. Известно также, что $u(s,t)\geq1$ для всех $s,t\geq0$, и в частности, $u(s,0)=1$ для всех $s\geq0$. Можно ли как-нибудь выяснить как ведет себя решение при больших значениях $t$?

Заранее спасибо.

[Oleg Zubelevich]

по s продифференцируйте левую и правую часть

[ecartman]

Oleg Zubelevich в сообщении #716505 писал(а):

по s продифференцируйте левую и правую часть

А как это может?

[provincialka]

ecartman в сообщении #716863 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #716505 писал(а):

по s продифференцируйте левую и правую часть

А как это поможет?

Ну, справа 0 будет, а это уже хорошо.

[ecartman]

provincialka в сообщении #716873 писал(а):

ecartman в сообщении #716863 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #716505 писал(а):

по s продифференцируйте левую и правую часть

А как это поможет?

Ну, справа 0 будет, а это уже хорошо.

Существует довольно широкий класс функций для которых смешанная производная всюду нуль. Какая польза от этого в данном случае?

[provincialka]

А явно описать этот класс можно?

[ecartman]

provincialka в сообщении #716900 писал(а):

А явно описать этот класс можно?

Можно, например, сказать, что $y(s,t)=u(s)+v(t)+C_1$. Из этого можно также заключить, что $v'(t)=C[u(t)+v(t)+C_1]$, но разве это что-то дает?

[provincialka]

Относительно $v$ получается простое уравнение. Его можно решить.
Можно, наоборот, выразить $u(t)$ через $v(t)$

Кстати, писать в решении константу $C_1$ не нужно, ее можно включить в $u(t)$ или $v(t)$

Запишите, например, $u(t)={v'(t)\over C}-v(t)$, тогда $y(s,t)={v'(s)\over C}-v(s)+v(t)$ для некоторой функции $v$.

На это решение наложите ваши условия, найдете функцию $v(t)$